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Aufgabe mit Lösung Planck-Wirkungsquantum und andere Größen mittels Gegenspannung beim Photoeffekt bestimmen

Energie-Frequenz-Diagramm beim Photoeffekt
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Eine Photokathode (eine der beiden Kondensatorplatten) wird in zwei Experimenten mit jeweils monochromatischem Licht bestrahlt, um den Photoeffekt auszulösen.

  • Im ersten Experiment, wird die Photokathode mit der Wellenlänge \( \lambda_1 = 231 \, \mathrm{nm} \) bestrahlt. Die herausgelösten Elektronen wandern zur gegenüberliegenden Platte und erzeugen einen Photostrom. Diesen bringst du auf Null, indem du eine Gegenspannung von \( U_1 = 0.96 \, \mathrm{V} \) anlegst.
  • Im zweiten Experiment, wird die Photokathode mit der Wellenlänge \( \lambda_2 = 150 \, \mathrm{nm} \) bestrahlt. Den hervorgerufenen Strom kompensierst du, indem du eine Gegenspannung von \( U_2 = 3.85 \, \mathrm{V} \) anlegst.
  1. Bestimme mit Hilfe dieser Messergebnisse die Naturkonstante: Wirkungsquantum \( h \) in Joulesekunden (Js).
  2. Bestimme mit der emittelten Planck-Konstanten die Austrittsarbeit \(W \) der Photokathode in Joule (J) und in Elektronenvolt (eV).
  3. Bestimme die Grenzfrequenz \( f_0 \) und die Grenzwellenlänge \( \lambda_0 \).
Lösungstipps

Nutze die Formel für den Photoeffekt:$$ h \, f ~=~ e \, U_{\text G} ~+~ W $$ausgedrückt mit der Gegenspannung \( U_{\text G} \) und stelle eine Gleichung für das erste und eine Gleichung für das zweite Experiment auf.

Wenn du begriffliche Schwierigkeiten hast oder den Photoeffekt nicht so ganz verstehst, solltest du als erstes die Lektion über den photoelektrischen Effekt durchlesen.

Lösungen

Lösung für (a)

Du hast zwei unabhängige Experimente gemacht. Das heißt: Damit kannst du zwei Gleichungen aufstellen, die du benutzen kannst, um die Planck-Konstante \( h \) zu bestimmen.

Erstes Experiment: Die Bestrahlung einer Metallplatte mit der Wellenlänge \( \lambda_1 \) hat Elektronen aus der Platte herausgelöst, die mit Hilfe der Gegenspannung gestoppt wurden. Setze die Wellenlänge \( \lambda_1 \) und die dazugehörige Gegenspannung \( U_1 \) in die Formel für den Photoeffekt ein:1$$ h \, f_1 ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$hierbei wurde die kinetische Energie als \( e \, U_1 \) ausgedrückt. Die Lichtfrequenz \( f_1\), mit der wir die Photokathode bestrahlen ist nicht bekannt, aber das ist kein Problem, weil wir Lichtfrequenz \( f_1\) in Lichtwellenlänge \( \lambda_1\) mithilfe der Beziehung \( c = \lambda_1 \, f_1\) ineinander umrechnen können. Forme diese Gleichung nach der Frequenz um: \( f_1 = \frac{c}{ \lambda_1 } \) und setze sie in 1 ein:2$$ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$

Und schon ist unsere erste Gleichung fertig. Wenn du sie genau anschaust, dann siehst du, dass sie ZWEI Unbekannten hat, nämlich die gesuchte Naturkonstante \( h \) als auch die Austrittsarbeit \( W\) der Photokathode. Wenn du die Gleichung nach \( h \) umstellen würdest, könntest du \( h \) nicht konkret ausrechnen, weil du eben die Austrittsarbeit \( W = h \, f_0 \) nicht kennst. Hierbei ist \( f_0\) die Grenzfrequenz, die ebenfalls nicht gegeben ist. Daher ist eine zweite Gleichung aus dem Photoeffekt-Experiment dringend notwendig.

Zweites Experiment: Gehe in diesem Fall analog wie bei dem ersten Experiment vor. Setze die Wellenlänge \( \lambda_2 \) und die dazugehörige Gegenspannung \( U_2 \) in die Photoeffekt-Formel ein. Wir drücken außerdem die Frequenz \(f_2\) mit der gegebenen Wellenlänge aus:3$$ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } ~=~ e \, U_2 ~+~ W $$

So weit so gut. Wenn du jetzt die Gl. 3 von Gl. 2 abziehst, eliminierst du damit die unbekannte Austrittsarbeit \( W \): 4\begin{align} h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } &~=~ e \, U_1 ~-~ e \, U_2 ~+~ W ~-~ W \\\\ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ h \, \frac{c}{ \lambda_2 } &~=~ e \, U_1 ~-~ e \, U_2 \\\\ h \, c \, \left( \frac{1}{ \lambda_1 } ~-~ \frac{1}{ \lambda_2 } \right) &~=~ e \, \left( U_1 ~-~ U_2 \right) \end{align}

Im letzten Schritt wurde auf der linken Seite \( h \, c \) ausgeklammert und auf der rechten Seite die Elementarladung \( e \). Nun hält uns nichts mehr davon ab, nach der gesuchten Planck-Konstanten \( h \) umzustellen:5$$ h ~=~ \frac{e}{c} \, \frac{ U_1 ~-~ U_2 }{ \frac{1}{ \lambda_1 } ~-~ \frac{1}{ \lambda_2 } } $$Setze nur noch konkrete Werte ein. Hierbei ist \( c = 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} \) und \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \):6\begin{align} h ~&=~ \frac{ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} }{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} } \, \frac{ 0.96 \, \mathrm{V} ~-~ 3.85 \, \mathrm{V} }{ \frac{1}{ 231 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } ~-~ \frac{1}{ 150 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } } \\\\ &~=~ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} \end{align}

Wenn du die Planck-Konstante in deiner Formelsammlung anschaust, dann siehst du, dass der ermittelte Wert gut mit dem exakten Wert \( h ~=~ 6.626 \, 070 \, 15 \,\cdot \, 10^{-34} \, \text{Js} \) übereinstimmt.

Lösung für (b)

Da wir jetzt die Planck-Konstante \( h \) in (a) bestimmt haben, können wir daraus die Austrittsarbeit \( W \) bestimmen. Es gibt verschiedene Wege das zu erreichen. Der einfachste Weg ist es, die aufgestellte Photoeffekt-Gleichung 2 aus dem ersten Experiment zu nehmen:7$$ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~=~ e \, U_1 ~+~ W $$

Und diese dann nach \( W \) umzustellen:8$$ W ~=~ h \, \frac{c}{ \lambda_1 } ~-~ e \, U_1 $$

Konkrete Werte einsetzen, ergibt:9\begin{align} W ~&=~ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} ~\cdot~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} }{ 231 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{m} } ~-~ 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} ~\cdot~ 0.96 \, \mathrm{V} \\\\ &~=~ 7.02 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{J} \end{align}

Um den Joule-Wert in Elektronenvolt (eV) umzurechnen, müssen wir nur das Ergebnis 9 durch die Elementarladung \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{C} \) teilen:10$$ W ~=~ 4.39 \, \mathrm{eV} $$

Lösung für (c)

Um die Grenzfrequenz \( f_0 \) zu berechnen, benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Austrittsarbeit \( W \) und der Grenzfrequenz:11$$ W ~=~ h \, f_0 $$

Stelle nach \(f_0\) um und setze konkrete Werte ein:12\begin{align} f_0 ~&=~ \frac{W}{h} \\\\ &~=~ \frac{ 7.02 \cdot 10^{-19} \, \mathrm{J} }{ 6.59 \cdot 10^{-34} \, \mathrm{Js} } \\\\ &~=~ 1.07 \cdot 10^{15} \, \frac{1}{\mathrm s} \\\\ &~=~ 1.07 \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz} \end{align}

Das entspricht der folgenden Grenzwellenlänge13\begin{align} \lambda_0 ~&=~ \frac{c}{f_0} \\\\ &~=~ \frac{ 3 \cdot 10^8 \, \frac{\mathrm m}{\mathrm s} }{ 1.07 \cdot 10^{15} \, \mathrm{Hz} } \\\\ &~=~ 2.8 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{m} \\\\ &~=~ 280 \, \mathrm{nm} \end{align}