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Aufgabe mit Lösung Wärmemenge zur Umwandlung von Eis zu Wasser

Temperaturänderung von Wasser durch Zufuhr thermischer Energie
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Welche Wärmemenge musst du aufbringen, um \( 5 \, \text{kg} \) Eis, das eine Temperatur von -10 \(^\circ \text{C}\) hat, in 30 \(^\circ \text{C}\)-warmes Wasser umzuwandeln?

Berücksichtige dabei die Schmelzwärme von Wasser \(Q_{\text{W}} = 333 \, \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \), sowie die spezifische Wärmekapazität des Wassers \(c_{\text W} = 4200 \, \frac{\text{J}}{\text{kg} \, \text{K}} \) und des Eises \(c_{\text E} = 2100 \, \frac{\text{J}}{\text{kg} \, \text{K}} \).

Lösungstipps

Benutze die Formel für Wärmeenergie \(Q\), die notwendig ist, um einen Stoff der Masse m um \(\Delta T\) zu erhitzen:$$ Q ~=~ m \, c \, \Delta T $$

Lösungen

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Lösung

Um das -10°C kalte Eis auf 0°C zu bringen, muss dem Eis folgende Wärmemenge zugeführt werden:$$ Q_1 ~=~ m \, c_{\text E} \, \Delta T_1 $$

Dabei ist \( m \) die Masse des Eises bzw. Wassers und \( \Delta T_1 \) die Temperaturdifferenz 0°C - (-10)°C. Du kannst einfach für die Temperatur 10K einsetzen; da die Differenz zweier Temperaturen sowohl in der Kelvinskala als auch in der Celsiusskala gleich ist.

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:\begin{align} Q_1 &~=~ 5 \, \text{kg} ~\cdot~ 2100 \, \frac{\text J}{\text{kg K}} ~\cdot~ 10 \, \text{K} \\\\ &~=~ 105 \, \text{kJ} \end{align}

Bevor die Erwärmung des Wassers von 0°C auf 30°C stattfinden kann, muss sich das Eis zu Wasser umwandeln. Dazu wird die sogenannte Schmelzwärme des Wassers \( Q_{\mathrm W} = 333 \, \frac{\mathrm J}{ \mathrm{kg} } \) benötigt.

Gegeben sind \( 5 \, \text{kg} \) Eis (bzw. Wasser, da Masse erhalten bleibt). Damit ergibt sich die Wärmemenge, die benötigt wird, um Eis in Wasser umzuwandeln:\begin{align} Q_2 &~=~ m \, Q_{\text W} \\\\ &~=~ 5 \, \text{kg} ~\cdot~ 333 \, \frac{\text{kJ}}{\text{kg}} \\\\ &~=~ 1665 \, \text{kJ} \end{align}

Jetzt muss noch die Erwärmung des Wassers von 0°C auf 30°C berücksichtig werden. Also:$$ Q_3 ~=~ m \, c_{\text W} \, \Delta T_3 $$

Die Temperaturdifferenz ist \( \Delta T_3 \) = 30°C - 0°C. Das entspricht einer Temperaturdifferenz von 30 Kelvin. Setze die gegebenen Werte ein:\begin{align} Q_3 &~=~ 5 \, \text{kg} ~\cdot~ 4200 \frac{\text J}{\text{kg K}} ~\cdot~ 30 \, \text{K} \\\\ &~=~ 630 \, \text{kJ} \end{align}

Rechne nur noch die benötigten Wärmemengen zusammen, dann bekommst Du die gesuchte Wärmemenge:\begin{align} Q_{\text{ges}} &~=~ 105 \,\text{kJ} ~+~ 1665 \,\text{kJ} ~+~ 630 \,\text{kJ} \\\\ &~=~ 2400 \, \text{kJ} \end{align}