Aufgabe mit Lösung Häufigkeitsverteilung - relative Summenhäufigkeit
Aus einer Produktion wurde eine Stichprobe von 200 Kondensatoren entnommen, um eine Qualitätskontrolle der Kapazitäten \( C_i \) durchzuführen. Dabei wurden die Kapazitäten der Kondensatoren gemessen und in der folgenden Tabelle in Klassenmitten eingeteilt.
| Klasse | Klassenmitte in \( \text{nF} \) | Anzahl der Kondensatoren |
|---|---|---|
| 1 | 841 | 3 |
| 2 | 842 | 4 |
| 3 | 843 | 3 |
| 4 | 844 | 10 |
| 5 | 845 | 2 |
| 6 | 846 | 35 |
| 7 | 847 | 70 |
| 8 | 848 | 50 |
| 9 | 849 | 23 |
- Bestimme die relativen Häufigkeiten \( h_i \) in Prozent.
- Bestimme die relativen Summenhäufigkeiten \( H_i \) in Prozent.
Lösungstipps
Die relative Häufigkeit \( h_i \) sagt aus, welchen prozentualen Anteil machen die Kondensatoren einer Klassenmitte von der Gesamtzahl der Stichprobe aus.
Die relative Summenhäufigkeit \( H_i \) ist die Summe aller relativen Häufigkeiten bis zur \(i\)-ten Klassenmitte.
Lösungen
Lösung für (a)
Die relative Häufigkeit \( h_i \) berechnet sich bei einer Stichprobe von 200 Kondensatoren, folgendermaßen:\[ h_i ~=~ \frac{\text{Anzahl in einer Klasse}}{200} ~\cdot~ 100 \]
Zum Beispiel für die 1. Klasse:\begin{align} h_1 &~=~ \frac{3}{200} ~\cdot~ 100 \\\\ &~=~ \frac{3}{2} \, \% \\\\ &~=~ 1.5 \, \% \end{align}
Wenn du genauso für jede Klasse vorgehst, bekommst du folgende Tabelle mit relativen Häufigkeiten:
| Klasse | Anzahl der Kondensatoren | Relative Häufigkeit \( h_i \) in % |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 1.5 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 3 | 1.5 |
| 4 | 10 | 5 |
| 5 | 2 | 1 |
| 6 | 35 | 17.5 |
| 7 | 70 | 35 |
| 8 | 50 | 25 |
| 9 | 23 | 11.5 |
Lösung für (b)
Um die relative Summenhäufigkeit \( H_n \) zu berechnen, summierst Du alle relativen Häufigkeiten \( h_i \) bis zur \(n\)-ten Klasse.\[ H_n ~=~ h_1 ~+~ h_2 ~+~...~+~ h_n \]
Zum Beispiel relative Summenhäufigkeit bis zur 3. Klasse:\begin{align} H_3 &~=~ h_1 + h_2 + h_3 \\\\ &~=~ 2.5\% + 2\% + 2.5\% \\\\ &~=~ 7\% \end{align}
| Klasse | Anzahl der Kondensatoren | Relative Summenhäufigkeit \( H_n \) in % |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2.5 |
| 2 | 4 | 3.5 |
| 3 | 3 | 5 |
| 4 | 10 | 10 |
| 5 | 2 | 11 |
| 6 | 35 | 28.5 |
| 7 | 70 | 63.5 |
| 8 | 50 | 88.5 |
| 9 | 23 | 100 |