Direkt zum Inhalt

Aufgabe mit Lösung Geladene Kugel: Elektrisches Feld außerhalb & innerhalb

Elektrisch geladene Kugel
Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Homogen geladene Kugel mit Ladung \( Q \) und Radius \( R \).

Homogen geladene Kugeln treten z.B. als kugelförmige Bandgeneratoren in der Technik auf oder als Aerosol-Teilchen in der Natur.

Eine massive Vollkugel ist gleichförmig geladen. Sie hat den Radius \(R\) und die Gesamtladung \(Q\).

  1. Bestimme das E-Feld \( \boldsymbol{E} \) außerhalb der Kugel
  2. Bestimme das E-Feld \( \boldsymbol{E} \) innerhalb der Kugel
Lösungstipps

Benutze das Gauß-Integraltheorem in Kombination mit der ersten Maxwell-Gleichung aus der Elektrostatik für das elektrische Feld:\[ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Lösungen

Lösung für (a)

Um das elektrische Feld außerhalb einer Vollkugel zu bestimmen, kannst Du am besten das Gauß-Integralsatz in Kugelkoordinanten ausnutzen. Für dieses Problem ist es perfekt geeignet, denn eine Vollkugel weist eine sphärische Symmetrie auf, weshalb Dir der Gauß-Integralsatz die schnellste Lösung liefert.

Gauß-Kugel, welche die Vollkugel umschließt.

Als erstes zeichne oder denke Dir ein gedachtes Gauß-Volumen, welches die geladene Vollkugel umschließt und denselben Mittelpunkt hat. Als Gauß-Volumen eignet sich in diesem Fall natürlich eine Gauß-Kugel mit dem Radius \(r\). Bedenke, dass der Radius der Gauß-Kugel größer sein muss als der Radius der Vollkugel \(R\), um das E-Feld außerhalb zu berechnen: \(r \) > \(R\).

Benutze den Gauß-Integralsatz, in welches Du die elektrostatische Maxwell-Gleichung (Divergenz des E-Feldes) einsetzt. (Schau Dir das Gauß-Integraltheorem an, wenn Du nicht weißt, wie man darauf kommt):1\[ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Die von der Gauß-Kugel eingeschlossene Ladungsmenge \( Q_{\text{in}} \) entspricht genau der Gesamtladung der Vollkugel \( Q \), die laut der Quest gegeben ist:2\[ \frac{Q}{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Sphärische Koordinaten.

Das elektrische Feld setzt sich - in Kugelkoordinanten - aus drei Anteilen zusammen:3\[ \boldsymbol{E} ~=~ E_r(\boldsymbol{r}) \, \boldsymbol{\hat{r}} ~+~ E_{\varphi}(\boldsymbol{r}) \, \boldsymbol{\hat{\varphi}} ~+~ E_{\theta}(\boldsymbol{r}) \, \boldsymbol{\hat{\theta}} \]

Hierbei sind \(\boldsymbol{\hat{r}},~\boldsymbol{\hat{\varphi}},~\boldsymbol{\hat{\theta}} \) die Einheitsvektoren in sphärischen Koordinaten. Die Anteile in \(\boldsymbol{\hat{\varphi}}\)- und \(\boldsymbol{\hat{\theta}}\)-Richtung fallen jedoch weg, denn das E-Feld ist - in jedem Punkt - auf einer Kugeloberfläche (mit Radius \(r\)) gleich groß. Diese Anteile wären jedoch da, wenn die Vollkugel nicht homogen geladen wäre!

Die einzige eindeutige Richtung, in der sich das E-Feld ändert ist die \(\boldsymbol{\hat{r}} \)-Richtung; also der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel. Und da die anderen Anteile weggefallen sind, bleibt nur noch eine einzige Richtung für die Richtung des E-Felds übrig: Es steht überall senkrecht auf der Gauß-Kugeloberfläche: \( \boldsymbol{E} = E_r \, \boldsymbol{\hat{r}} \). Im Folgenden wird zur einfacheren Notation der radiale Feldanteil \(E_r\) in \(E\) umbenannt.

Das infinitesimale Flächenelement steht - per Definition - ebenfalls senkrecht auf geschlossenen Oberflächen: \( \text{d}\boldsymbol{a} \) = \( \text{d}a \, \boldsymbol{\hat{r}} \), weshalb die Richtung des elektrischen Feldes und die Richtung des Flächenelements beide in dieselbe Richtung zeigen. Somit vereinfacht sich das Skalarprodukt \( \boldsymbol{E}\cdot \text{d}\boldsymbol{a} \) zu einem einfachen Produkt von zwei Beträgen:4\[ \boldsymbol{E}\cdot \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ E \, \boldsymbol{\hat{r}} \cdot \boldsymbol{\hat{r}} \, \text{d}a ~=~ E \, \text{d}a \]

Da Du die infinitesimalen Stückchen \(\text{d}a\) über eine Oberfläche aufintegrierst, die im Abstand \( r \) vom Mittelpunkt sind, ist der Betrag des E-Feldes \(E\) dort in jedem Punkt konstant. Er kann deshalb aus dem Integral herausgezogen werden:5\[ \frac{1}{\varepsilon_{0}} \, Q ~=~ E \, \oint_{A} \, \text{d}a \]

Nun könntest Du das Oberflächenintegral in Kugelkoordinanten berechnen, was jedoch überflüssig wäre, wenn Du die Fläche einer Kugel mit Radius \(r\) als Formel kennst! Nämlich \(4\pi \, r^2\). Damit hast Du: 6\[ E \, 4\pi \, r^2 ~=~ \frac{1}{\varepsilon_{0}} \, Q \]

Umformen nach dem Betrag \(E\) ergibt:7\[ E(r) ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^2} \]

Das E-Feld zeigt radial nach außen, in Kugelkoordinanten also in Richtung \( \boldsymbol{\hat{r}} \):

Verlauf des elektrischen Feldes innerhalb und außerhalb einer Vollkugel mit Radius \(R\).

E-Feld außerhalb einer Vollkugel\[ \boldsymbol{E}(r) ~=~ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} \,\boldsymbol{\hat{r}} \]
Außerhalb der homogen geladenen Vollkugel herrscht also das gleiche E-Feld wie das Feld einer Punktladung, die sich im Koordinanten-Mittelpunkt befindet.
Lösung für (b)

Um das E-Feld im Inneren der geladenen Vollkugel zu berechnen, gehst Du analog wie bei Teilaufgabe (a) vor.

Geladene Vollkugel mit dem Radius \(R\) in der sich eine Gauß-Kugel mit dem Radius \(r\) befindet.

Betrachte wieder eine Gauß-Kugeloberfläche mit Radius \(r\). Sie muss sich jedoch innerhalb der Vollkugel befinden; sprich ihr Radius muss kleiner sein als der Radius der Vollkugel: \( r \lt R\).

Benutze die erste Maxwell-Gleichung aus dem Hinweis:8\[ \frac{ Q_{\text{in}} }{\varepsilon_{0}} ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{E} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Mit der gleichen Argumentation wie bei (a): Das E-Feld \(\boldsymbol{E}\) zeigt in Richtung des \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Elements und es ist aufgrund der sphärischen Symmetrie nur von der radialen Richtung abhängig. Das Skalarprodukt wird analog zur Teilaufgabe (a) zum einfachen Produkt der Beträge: 9\[ E \, \boldsymbol{\hat{r}} \cdot \text{d}a \, \boldsymbol{\hat{r}} ~=~ E \, \text{d}a \]

Integration über eine Gauß-Oberfläche im konstanten Abstand \(r\) impliziert, dass das E-Feld in diesem Abstand - an jedem Punkt der Kugeloberfläche - konstant ist und Du deshalb den Betrag von E in 8 mit Berücksichtigung von 9 vor das Integral ziehen darfst:10\[ \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_{0}} ~=~ E \oint_{A} \, \text{d}a \]

Die eingeschlossene Ladung \( Q_{\text{in}} \), die von der Gauß-Kugel(!) eingeschlossen wird, ist in diesem Fall nicht bekannt und abhängig vom Radius der Gauß-Kugel. Sie lässt sich schreiben als:11\[ Q_{\text{in}} ~=~ \rho \, V_{\text{in}} \]

Dabei ist die Ladungsdichte \(\rho\) - laut der Aufgabe - überall in der Kugel konstant; und weil Du sie nicht kennst, musst Du sie als Gesamtladung \(Q\) pro Gesamtvolumen \(V\) der Vollkugel umschreiben, weil Ladung der Vollkugel und das Volumen einer Kugel Dir bekannt sind:12\[ \rho ~=~ \frac{Q}{V} ~=~ \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi\,R^3} \]

\( V_{\text{in}} \) ist das von der Gauß-Kugel (mit Radius r) eingeschlossene Volumen:13\[ V_{\text{in}} ~=~ \frac{4}{3}\pi\,r^3 \]

Mit der umgeschriebenen Ladungsdichte 12 und dem Volumen 13, bekommst Du in 11 die eingeschlossene Ladungsmenge:14\[ Q_{\text{in}} ~=~ \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi\,R^3} \, \frac{4}{3}\pi\,r^3 ~=~ \frac{Q}{R^3} \, r^3 \]

Jetzt nur noch das Flächenintegral (Gauß-Oberfläche) in 10 verarzten. Mit dem Radius \( r \) der Gauß-Oberfläche beträgt ihre Kugeloberfläche \( 4\pi \, r^2 \). Setze die eingeschlossene Ladung 14 und die Gauß-Kugeloberfläche für das Integral in 10 ein:15\[ \frac{Q}{\varepsilon_0\,R^3} \, r^3 ~=~ E \, 4\pi\,r^2 \]

Forme nach dem E-Feld-Betrag um und berücksichtige die Richtung des E-Feldes (es zeigt nämlich in radiale Richtung \( \boldsymbol{\hat{r}} \)).

Verlauf des elektrischen Feldes innerhalb und außerhalb einer Vollkugel mit Radius \(R\).

E-Feld innerhalb einer Vollkugel\[ \boldsymbol{E}(r) ~=~ \frac{Q}{4\pi \varepsilon_{0} \, R^3}\,r \, \boldsymbol{\hat{r}} \]

Wie Du an der Formel erkennen kannst, nimmt das E-Feld innerhalb der Kugel mit dem Abstand linear zu; was offensichtlich ist, denn eine Gauß-Kugel mit größer gewähltem Radius \(r\) schließt mehr Ladung ein, was zu einer größeren Feldstärke führt.

Im Fall \(r=R\) spucken beide Berechnungen des E-Feldes (innerhalb und außerhalb) das gleiche Ergebnis. Das E-Feld ist stetig.