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Formel: Zeitunabhängige Schrödingergleichung (3d)

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
\[ W \, \mathit{\Psi} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]
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Ebene Welle im Zeigerdiagramm
Eine eindimensionale ebene Welle, die sich nach rechts ausbreitet.
Betragsquadrat einer Wellenfunktion (Beispiel)

Wellenfunktion

\( \mathit{\Psi} \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}} \)
Dredimensionale Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der die Wahrscheinlichkeit ein quantenmechanisches Teilchen irgendwo zu finden, berechnet werden kann. Die Wellenfunktion ist im Allgemeinen vom Ort \( \boldsymbol{r} \), und von der Zeit \( t \) abhängig.

Laplace-Operator

\( \nabla^2 \)
Einheit \( \frac{1}{\text{m}^2} \)
Der Laplace-Operator wird auf die Wellenfunktion angewendet. Dieser enthält die zweiten partiellen Ableitungen nach den Ortskoordinaten:\[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Gesamtenergie

\( W \)
Einheit \( \text{J} \)
Gesamtenergie eines quantenmechanischen Teilchen, das durch den stationären Zustand \( \mathit{\Psi} \) beschrieben wird.

Potentielle Energie

\( W_{\text{pot}} \)
Einheit \( \text{J} \)
Potentielle Energie kann im Fall der stationären SGL vom Ort \( \boldsymbol{r} \) abhängen, aber nicht von der Zeit \( t \) (dafür ist die zeitabhängige SGL da).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante und hat den Wert: \( \hbar ~=~ \frac{h}{2 \pi} ~=~ 1.054 \, 572 ~\cdot~ 10^{-34} \, \text{Js} \).

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Masse des betrachteten quantenmechanischen Teilchens (z.B. eines Elektrons).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Hier findest Du die dreidimensionale zeitabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung, mit der Du die Wellenfunktion bestimmen kannst.
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