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Formel: Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (3d)

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
\[ i \, \hbar \, \frac{\partial \mathit{\Psi}}{\partial t} ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \nabla^2 \, \mathit{\Psi} ~+~ W_{\text{pot}} \, \mathit{\Psi} \]
Eine eindimensionale ebene Welle, die sich nach rechts ausbreitet.
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Ebene Welle im Zeigerdiagramm
Betragsquadrat einer Wellenfunktion (Beispiel)

Wellenfunktion

\( \mathit{\Psi}(\boldsymbol{r}, t) \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}} \)
Dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der die Wahrscheinlichkeit ein quantenmechanisches Teilchen im einem bestimmten Raumbereich zu finden, berechnet werden kann. Sie ist vom Ort \( \boldsymbol{r} \) und von der Zeit \( t \) abhängig.

Laplace-Operator

\( \nabla^2 \)
Einheit \( \frac{1}{\text{m}^2} \)
Der Laplace-Operator wird auf die Wellenfunktion angewendet. Dieser enthält die zweiten partiellen Ableitungen nach den Ortskoordinaten:\[ \nabla^2 ~=~ \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

Potentielle Energie

\( W_{\text{pot}} \)
Einheit \( \text{J} \)
Potentielle Energiefunktion, die die potentielle Enegie eines quantenmechanischen Teilchens am Ort \(\boldsymbol{r}\) zum Zeitpunkt \(t\) angibt. Im allgemeinen ist die potentielle Energie also orts- und zeitabhängig.

Imaginäre Einheit

\( i \)
Einheit \( - \)
Imaginäre Einheit ist eine komplexe Zahl, für die gilt: \( \textbf{i}^2 ~=~ -1 \).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante und hat den Wert: \( \hbar ~=~ \frac{h}{2 \pi} ~=~ 1.054 \, 572 ~\cdot~ 10^{-34} \, \text{Js} \).

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Masse des betrachteten quantenmechanischen Teilchens (z.B. eines Elektrons).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Dreidimensionale zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, mit der Du die Wellenfunktion bestimmen kannst.
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