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Formel Harmonischer Oszillator (1d) Wellenfunktion  

\[ \Psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \] \[ \Psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]
Wellenfunktionen - harmonischer Oszillator (1d)

Wellenfunktion

\( \Psi_n(x) \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text m}} \)

Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein quantenmechanisches Teilchen (z.B. Elektron) in einem eindimensionalen parabolischen Potential (Potential eines harmonischen Oszillators).

Quantenzahl

\( n \)
Einheit \( - \)

Quantenzahl \(n\) nimmt diskrete Werte an: \( n ~=~ 1,2,3... \). Für \( n ~=~ 1 \) bekommst Du eine Wellenfunktion \( \Psi_1(x) \) eines gebundenen Teilchens im Grundzustand.

Hermite-Polynom

\( H_n(y) \)
Einheit \( - \)

\(n\)-tes Hermite-Polynom. Beim harmonischen Oszillator ist \(y\): \[ y ~=~ \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x \]

Kreisfrequenz

\( \omega \)
Einheit \( \frac{1}{\text{s}} \)

Charakteristische Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators. Also sie gibt an, wie schnell das Teilchen der Masse \( m \) schwingt. Es gilt \( \omega = \sqrt{\frac{D}{m}} \), wobei \( D \) die Kopplungskonstante ("Federkonstante") ist.

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)

Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante aus der Quantenmechanik und hat den Wert: \( 6.626 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} \).

Details zum Inhalt
  • Zusammenfassung:Mit dieser Formel kannst Du die Wellenfunktionen (Zustände) des Teilchens bei einem quantenmechanischen harmonischen Oszillator berechnen.
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