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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Formel: Harmonischer Oszillator (1d) Wellenfunktion  

$$\mathit{\Psi}_n(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2}$$ $$\mathit{\Psi}_n(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2}$$
Wellenfunktionen - harmonischer Oszillator (1d)

Wellenfunktion

\( \mathit{\Psi}_n(x) \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text m}} \)
Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein quantenmechanisches Teilchen (z.B. Elektron) in einem eindimensionalen parabolischen Potential (Potential eines harmonischen Oszillators).

Quantenzahl

\( n \)
Einheit \( - \)
Quantenzahl \(n\) nimmt diskrete Werte an: \( n ~=~ 1,2,3... \). Für \( n ~=~ 1 \) bekommst Du eine Wellenfunktion \( \mathit{\Psi}_1(x) \) eines gebundenen Teilchens im Grundzustand.

Hermite-Polynom

\( H_n(y) \)
Einheit \( - \)
\(n\)-tes Hermite-Polynom. Beim harmonischen Oszillator ist \(y\): \[ y ~=~ \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x \]

Kreisfrequenz

\( \omega \)
Einheit \( \frac{1}{\text{s}} \)
Charakteristische Kreisfrequenz des harmonischen Oszillators. Also sie gibt an, wie schnell das Teilchen der Masse \( m \) schwingt. Es gilt \( \omega = \sqrt{\frac{D}{m}} \), wobei \( D \) die Kopplungskonstante ("Federkonstante") ist.

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante aus der Quantenmechanik und hat den Wert: \( 6.626 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Formel kannst Du die Wellenfunktionen (Zustände) des Teilchens bei einem quantenmechanischen harmonischen Oszillator berechnen.
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