Formel Thermische Kapazität (Debye-Approximation) Debye-Temperatur Teilchenzahl Energieverhältnis
$$C_{\text V} ~=~ 9N \, k_{\text B} \left( \frac{T}{T_{\text D}} \right)^3 \int_{0}^{T_{\text D}/T} \frac{u^4 \, \mathrm{e}^u}{(\mathrm{e}^u-1)^2} ~ \text{d}u$$ $$C_{\text V} ~=~ 9N \, k_{\text B} \left( \frac{T}{T_{\text D}} \right)^3 \int_{0}^{T_{\text D}/T} \frac{u^4 \, \mathrm{e}^u}{(\mathrm{e}^u-1)^2} ~ \text{d}u$$
Thermische Kapazität
$$ C_{\text V} $$ Thermische Kapazität gibt an, wie gut ein Material, Wärmeenergie, bei konstant gehalteten Volumen \( V \), speichern kann. Sie ist die Ableitung der inneren Energie nach der Temperatur.
Die Thermische Kapazität in der Debye-Approximation ist gut geeignet, wenn akustische Phononen dominieren, weil sie im Gegensatz zu optischen Phononen, einigermaßen linear sind. Die Einheit der thermischen Kapazität ist \( \mathrm{J}/\mathrm{K} \).
Debye-Temperatur
$$ T_{\text D} $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$ Debye-Temperatur des betrachteten Kristalls, für den diese Temperatur charakteristisch ist. Sie ist definiert als \( T_{\text D} = \frac{\hbar \, \omega_{\text D}}{k_{\text B}} \), wobei \( \omega_{\text D} = v_{\text s} \, k_{\text D} \) die Debye-Frequenz ist und \( v_{\text s} \) die Schallgeschwindigkeit im Kristall. In der Debye-Approximation wird also angenommen, dass alle Dispersionszweige \( \omega(k) = v_{\text s} \, k \) des Kristalls linear sind. Mit \( k \) als Wellenvektor.
Temperatur
$$ T $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$ Absolute Temperatur des betrachteten Kristalls.
Teilchenzahl
$$ N $$ Einheit $$ - $$ Teilchenzahl des betrachteten Kristalls.
Energieverhältnis
$$ u $$ Einheit $$ - $$ Es ist definiert als:\[ u := \frac{\hbar \, \omega_{\text D}}{k_{\text B} \, T} \]Es wurde einfach definiert, um die Debye-Formel kompakter zu machen.
Boltzmann-Konstante
$$ k_{\text B} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm J}{\mathrm K} = \frac{\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \, \mathrm{K}} $$ Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante und tritt öfters in der statistischen Physik und in der Thermodynamik auf. Sie hat den Wert: \( k_{\text B} ~\approx~ 1.380 \,\cdot\, 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} \).