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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Formel: Thermische Kapazität (Debye-Approximation) Debye-Temperatur   Teilchenzahl   Energieverhältnis  

\[ C_{\text V} ~=~ 9N \, k_{\text B} \left( \frac{T}{T_{\text D}} \right)^3 \int_{0}^{T_{\text D}/T} \frac{u^4 \, \mathrm{e}^u}{(\mathrm{e}^u-1)^2} ~ \text{d}u \] \[ C_{\text V} ~=~ 9N \, k_{\text B} \left( \frac{T}{T_{\text D}} \right)^3 \int_{0}^{T_{\text D}/T} \frac{u^4 \, \mathrm{e}^u}{(\mathrm{e}^u-1)^2} ~ \text{d}u \]
Dispersionsrelation der Gitterschwingungen - einatomiges Kristallgitter

Thermische Kapazität

\( C_{\text V} \)
Einheit \( \frac{ \text{J} }{ \text{K} } \)
Thermische Kapazität gibt an, wie gut ein Material, Wärmeenergie, bei konstant gehalteten Volumen \( V \), speichern kann. Sie ist die Ableitung der inneren Energie nach der Temperatur.

Die Thermische Kapazität in der Debye-Approximation ist gut geeignet, wenn akustische Phononen dominieren, weil sie im Gegensatz zu optischen Phononen, einigermaßen linear sind.

Debye-Temperatur

\( T_{\text D} \)
Einheit \( \text{K} \)
Debye-Temperatur des betrachteten Kristalls, für den diese Temperatur charakteristisch ist. Sie ist definiert als \( T_{\text D} = \frac{\hbar \, \omega_{\text D}}{k_{\text B}} \), wobei \( \omega_{\text D} = v_{\text s} \, k_{\text D} \) die Debye-Frequenz ist und \( v_{\text s} \) die Schallgeschwindigkeit im Kristall. In der Debye-Approximation wird also angenommen, dass alle Dispersionszweige \( \omega(k) = v_{\text s} \, k \) des Kristalls linear sind. Mit \( k \) als Wellenvektor.

Temperatur

\( T \)
Einheit \( \text{K} \)
Absolute Temperatur des betrachteten Kristalls.

Teilchenzahl

\( N \)
Einheit \( - \)
Teilchenzahl des betrachteten Kristalls.

Energieverhältnis

\( u \)
Einheit \( - \)
Es ist definiert als:\[ u := \frac{\hbar \, \omega_{\text D}}{k_{\text B} \, T} \]Es wurde einfach definiert, um die Debye-Formel kompakter zu machen.

Boltzmann-Konstante

\( k_{\text B} \)
Einheit \( \frac{\text J}{\text K} \)
Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante und tritt öfters in der statistischen Physik und in der Thermodynamik auf. Sie hat den Wert: \( k_{\text B} ~\approx~ 1.380 \,\cdot\, 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Debye-Formel kannst Du die Wärmekapazität für beliebige Temperaturen ausrechnen, wenn die Debye-Temperatur und Teilchenzahl bekannt sind.
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