Formel Christoffel-Symbole (ohne Torsion)

$$\Gamma^{ \class{red}{c} }_{\;\class{blue}{a}\class{green}{b}} ~=~ \frac{1}{2} \, g^{\class{red}{c}s} \, \left( \partial_{\class{blue}{a}} \, g_{\class{green}{b}s} ~+~ \partial_{\class{green}{b}} \, g_{\class{blue}{a}s} - \partial_s \, g_{\class{blue}{a}\class{green}{b}} \right)$$

Christoffel-Symbole

$$ \Gamma^{ \class{red}{c} }_{\;\class{blue}{a}\class{green}{b}} $$

Christoffel-Symbole dienen dazu, eine partielle Ableitung (auf einer flachen Mannigfaltigkeit) zu einer kovarianten Ableitung (auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit) zu erweitern. Die Indizes $ \class{red}{c}$, $\class{blue}{a}$, $ \class{green}{b} $ und $s$ nehmen im vierdimensionalen Fall (Zeit + 3d-Raum) die Werte zwischen 0 und 3 an.

Hierbei ist $s$ ein Summationsindex. Einstein-Summenkonvention wird hier benutzt.

Metrik-Tensor

$$ g_{\class{green}{b}s} $$

Der Metrik-Tensor bestimmt die Abstände und Winkel in einem gekrümmten Raum. In einer gewählten Basis und im vierdimensionalen Fall ist der Metrik-Tensor eine symmetrische 4x4-Matrix.

Inverser Metrik-Tensor

$$ g^{\class{red}{c}s} $$

Kontravarianter Metrik-Tensor ist das Inverse des Metrik-Tensors.