Formel Christoffel-Symbole (ohne Torsion)
$$\Gamma^{ \class{red}{c} }_{\;\class{blue}{a}\class{green}{b}} ~=~ \frac{1}{2} \, g^{\class{red}{c}s} \, \left( \partial_{\class{blue}{a}} \, g_{\class{green}{b}s} ~+~ \partial_{\class{green}{b}} \, g_{\class{blue}{a}s} - \partial_s \, g_{\class{blue}{a}\class{green}{b}} \right)$$
Christoffel-Symbole
\( \Gamma^{ \class{red}{c} }_{\;\class{blue}{a}\class{green}{b}} \) Christoffel-Symbole dienen dazu, eine partielle Ableitung (auf einer flachen Mannigfaltigkeit) zu einer kovarianten Ableitung (auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit) zu erweitern. Die Indizes \( \class{red}{c}\), \(\class{blue}{a}\), \( \class{green}{b} \) und \(s\) nehmen im vierdimensionalen Fall (Zeit + 3d-Raum) die Werte zwischen 0 und 3 an.
Hierbei ist \(s\) ein Summationsindex. Einstein-Summenkonvention wird hier benutzt.
Metrik-Tensor
\( g_{\class{green}{b}s} \) Der Metrik-Tensor bestimmt die Abstände und Winkel in einem gekrümmten Raum. In einer gewählten Basis und im vierdimensionalen Fall ist der Metrik-Tensor eine symmetrische 4x4-Matrix.
Inverser Metrik-Tensor
\( g^{\class{red}{c}s} \) Kontravarianter Metrik-Tensor ist das Inverse des Metrik-Tensors.