Formel Dispersionsrelation für einen Kristall mit zweiatomiger Basis Kreisfrequenz Kreiswellenzahl Federkonstante Masse Gitterkonstante
$$\begin{align}
\omega_{\pm}^2 ~&=~ D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \\\\
~&\pm~ D \, \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)^2 ~-~ \frac{4}{m_1 \, m_2}\,\sin^2\left(\frac{k\,a}{2}\right) }
\end{align}$$
\omega_{\pm}^2 ~&=~ D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \\\\
~&\pm~ D \, \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)^2 ~-~ \frac{4}{m_1 \, m_2}\,\sin^2\left(\frac{k\,a}{2}\right) }
\end{align}$$
Kreisfrequenz
$$ \omega_{\pm} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s} $$ Diese Dispersionsrelation \(\omega_{\pm}(k)\) beschreibt den Zusammenhang zwischen der Frequenz (Energie) und der Wellenzahl (Wellenlänge) einer zweiatomigen Kette eines Kristalls. Die Schwingung ist dabei rein longitudinal (oder transversal) und es wird hier nur die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Ketten berücksichtigt.
In einem Kristall mit zweiatomiger Basis existieren zwei Schwingungsfrequenzen: \(\omega_{+}(k)\) optischer Zweig und \(\omega_{-}(k)\) akustischer Zweig.
Die Kreisfrequenz hängt mit der Frequenz \(f\) über \(\omega = 2\pi \, f \) zusammen.
Kreiswellenzahl
$$ k $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{m}} $$ Wellenzahl hängt mit der Wellenlänge \(\lambda\) über \(k = 2\pi / \lambda \) zusammen.
Federkonstante
$$ D $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2} $$ Federkonstante (oder Kopplungskonstante) kommt aus dem Hooke-Federgesetz und beschreibt wie stark eine zweiatomige Netzebene zu ihren Nachbarnetzebenen gekoppelt ist.
Masse
$$ m_1, m_2 $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$ Die beiden Massen einer zweiatomigen Basis.
Gitterkonstante
$$ a $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$ Gitterkonstante ist der Abstand zweier benachbarter Netzebenen, wenn sie im Gleichgewicht (also nicht ausgelenkt) sind.