Formel BAC-CAB-Regel Doppeltes Kreuzprodukt Vektoren
$$\boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) ~=~ \boldsymbol{b} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{c} \right) ~-~ \boldsymbol{c} \left( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} \right)$$
Doppeltes Kreuzprodukt
\( \boldsymbol{a} ~\times~ \left( \boldsymbol{b} ~\times~ \boldsymbol{c} \right) \) Zuerst wirst das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren \( \boldsymbol{b} \) und \( \boldsymbol{c} \) gebildet. Das ergibt wieder einen Vektor, der orthogonal auf \( \boldsymbol{b} \) und \( \boldsymbol{c} \) steht. Dann wird das Kreuzprodukt zwischen diesem Ergebnisvekor und Vektor \( \boldsymbol{a} \) gebildet. Das Ergebnis ist auch ein Vektor. Dieser Vektor liegt in der Ebene von \( \boldsymbol{b} \) und \( \boldsymbol{c} \).
Das doppelte Kreuzprodukt wird auf der linken Seite mit dem Skalarprodukt \(\cdot\) umgeschrieben. Hier wird das Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{c} \) sowie zwischen \( \boldsymbol{a} \) und \( \boldsymbol{b} \) gebildet.
Vektoren
\( \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b}, \, \boldsymbol{c} \) Vektoren des dreidimensionalen Raums; mit den Komponenten \( \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) \) und \( \boldsymbol{c} = (c_1, c_2, c_3) \).