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Formel: Zeitdilatation Zeit   Eigenzeit   Relativgeschwindigkeit  

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
\[ \Delta t' ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t \] \[ \Delta t' ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t \] \[ \Delta t ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, \Delta t' \] \[ v ~=~ c \, \sqrt{1 ~-~ \left(\frac{\Delta t}{\Delta t'}\right)^2} \] \[ c ~=~ v \, \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \left(\frac{\Delta t}{\Delta t'}\right)^2} } \] Formel umstellen
Lichtuhr: Lichtwege im rechtwinkligen Dreieck
Bewegte und unbewegte Lichtuhr: unterschiedliche Lichtwege

Zeit

\( \Delta t' \)
Einheit \( \text{s} \)
Das ist die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen, die auf der bewegten Uhr aus der Sicht eines ruhenden Beobachters vergeht. Da der Gamma-Faktor \(\gamma\) größer als 1 ist:\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } > 1 \]ist \(\Delta t'\) größer als \(\Delta t\). Folglich sieht ein ruhender Beobachter, dass auf der bewegten Uhr mehr Zeit \(\Delta t'\) verstrichen ist als auf seiner ruhenden Uhr, \(\Delta t\).

Wenn sich die bewegte Uhr mit der Geschwindigkeit \( v = 2 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s} \) relativ zum ruhenden Beobachter bewegt, beträgt der Gamma-Faktor:\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{(2 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s})^2}{(2 \cdot 10^8 \, \frac{\text m}{\text s})^2}} } ~=~ 1.7 \]Wenn nun auf der Uhr eines ruhenden Beobachters die Zeit \(\Delta t = 1 \, \text{s}\) vergangen ist, ist auf der bewegten Uhr \(0.7 \,\text{s}\) mehr Zeit vergangen:\[ \Delta t' ~=~ \gamma \, \Delta t ~=~ 1.7 \,\text{s} \]

Eigenzeit

\( \Delta t \)
Einheit \( \text{s} \)
Die Eigenzeit ist die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen, die ein ruhender Beobachter auf seiner ruhenden (unbewegten) Uhr misst. Da \(\Delta t\) kleiner ist als \(\Delta t'\), vergeht weniger Zeit auf der ruhenden Uhr als auf der relativ dazu bewegten Uhr.

Relativgeschwindigkeit

\( v \)
Einheit \( \frac{\text m}{\text s} \)
Das ist die Geschwindigkeit der bewegten Uhr, aus der Sicht eines ruhenden Beobachters. Die Relativgeschwindigkeit \(v\) ist stets kleiner als die Lichtgeschwindigkeit \(c\).

Je größer die Geschwindigkeit \(v\) der bewegten Uhr, desto größer ist die Zeitspanne \(\Delta t'\), die auf der bewegten Uhr, aus der Sicht eines ruhenden Beobachters vergeht.

Lichtgeschwindigkeit

\( c \)
Einheit \( \frac{\text m}{\text s} \)
Lichtgeschwindigkeit ist eine Naturkonstante und hat den Wert im Vakuum: \(c = 299 \, 792 \, 458 \, \frac{\text m}{\text s} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Formel für die Zeitdilatation, mit der man die Zeit der bewegten Uhr berechnen kann, wenn Relativgeschwindigkeit gegeben ist. Formel umstellen möglich.
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