Formel Freies Elektronengas (3d) Fermi-Temperatur Ladungsträgerdichte

$$T_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m \, k_{\text B}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3}$$ $$T_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m \, k_{\text B}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3}$$ $$n ~=~ \frac{1}{3\pi^2} \, \left( \frac{ 2m \, k_{\text B} \, T_{\text F} }{ \hbar^2 } \right)^{3/2}$$ $$m ~=~ \frac{\hbar^2}{2 k_{\text B} \, T_{\text F}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3}$$

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Fermi-Temperatur

$$ T_{\text F} $$ Einheit $$ \mathrm{K} $$

Fermi-Temperatur dient zum Vergleich der Fermi-Energie mit der thermischen Energie. Typischer Wert liegt bei $ 50 \, 000 \, \text{K} $, was deutlich über der Schmelztemperatur der meisten Elemente ist. Die Fermi-Temperatur hängt mit der Fermi-Energie über die Boltzmann-Konstante zusammen: $ T_{\text F} = \frac{E_{\text F}}{k_{\text B}}$.

Ladungsträgerdichte

$$ n $$ Einheit $$ \frac{1}{\mathrm{m}^3} $$

Ladungsträgerdichte ist die Anzahl $N$ der Ladungen pro Volumen $V$: $ n = N/V $. Da mit dem freien Fermi-Gas meistens die freien Elektronen beschrieben werden gibt $n$ die Elektronendichte an.

Masse

$$ m $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$

Masse eines Teilchens des Fermi-Gases. Dies kann zum Beispiel die (effektive) Masse des Elektrons sein.

Reduziertes Wirkungsquantum

$$ \hbar $$ Einheit $$ \mathrm{Js} $$

Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante (der Quantenmechanik) und hat den Wert: $ \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \, 571 \, 817 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} $.

Boltzmann-Konstante

$$ k_{\text B} $$ Einheit $$ \frac{\mathrm J}{\mathrm K} = \frac{\mathrm{kg} \,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \, \mathrm{K}} $$

Diese Naturkonstante tritt öfters in der statistischen Physik und in der Thermodynamik auf. Sie hat den Wert: $ k_{\text B} ~\approx~ 1.380 \,\cdot\, 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} $.