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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Formel: Freies Elektronengas (3d) Fermi-Temperatur   Ladungsträgerdichte  

\[ T_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m \, k_{\text B}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3} \] \[ T_{\text F} ~=~ \frac{\hbar^2}{2m \, k_{\text B}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3} \] \[ n ~=~ \frac{1}{3\pi^2} \, \left( \frac{ 2m \, k_{\text B} \, T_{\text F} }{ \hbar^2 } \right)^{3/2} \] \[ m ~=~ \frac{\hbar^2}{2 k_{\text B} \, T_{\text F}} \, (3\pi^2 \, n)^{2/3} \] Formel umstellen
Banddiagramm: Metall, Halbleiter, Isolator

Fermi-Temperatur

\( T_{\text F} \)
Einheit \( \text{K} \)
Fermi-Temperatur dient zum Vergleich der Fermi-Energie mit der thermischen Energie. Typischer Wert liegt bei \( 50 \, 000 \, \text{K} \), was deutlich über der Schmelztemperatur der meisten Elemente ist. Die Fermi-Temperatur hängt mit der Fermi-Energie über die Boltzmann-Konstante zusammen: \( T_{\text F} = \frac{E_{\text F}}{k_{\text B}}\).

Ladungsträgerdichte

\( n \)
Einheit \( \frac{1}{\text{m}^3} \)
Ladungsträgerdichte ist die Anzahl \(N\) der Ladungen pro Volumen \(V\): \( n = N/V \). Da mit dem freien Fermi-Gas meistens die freien Elektronen beschrieben werden gibt \(n\) die Elektronendichte an.

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Masse eines Teilchens des Fermi-Gases. Dies kann zum Beispiel die (effektive) Masse des Elektrons sein.

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante (der Quantenmechanik) und hat den Wert: \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \, 571 \, 817 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} \).

Boltzmann-Konstante

\( k_{\text B} \)
Einheit \( \frac{\text J}{\text K} \)
Diese Naturkonstante tritt öfters in der statistischen Physik und in der Thermodynamik auf. Sie hat den Wert: \( k_{\text B} ~\approx~ 1.380 \,\cdot\, 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Formel kannst Du die Fermi-Temperatur aus der Fermi-Energie bzw. der Ladungsträgerdichte berchnen und sie z.B. mit der Schmelztemperatur vergleichen.
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