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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Formel: Sphärische Koordinaten (Kugelkoordinaten) Abstand   Polarwinkel   Azimutwinkel  

$$\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}~=~r\begin{bmatrix} \sin(\theta)\,\cos(\varphi)\\\sin(\theta)\,\sin(\varphi)\\\cos(\theta)\end{bmatrix}$$
Sphärische Koordinaten

Kubische Koordinaten

\( x,y,z \)
Orthogonales Koordinatensystem mit den Koordinaten: \( x,y,z ~\in~ (-\infty, \infty) \).

Abstand

\( r \)
Dieser gibt den Abstand vom Ursprung des Koordinatensystems an. Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( r ~\in~ [0, \infty) \). Der Basisvektor (Einheitsvektor) in \( r \)-Richtung ist:\[ \boldsymbol{\hat{r}} = \begin{bmatrix} \sin(\theta)\,\cos(\varphi)\\\sin(\theta)\,\sin(\varphi)\\\cos(\theta)\end{bmatrix} \]

Polarwinkel

\( \theta \)
Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( \theta ~\in~ [0, \pi) \). Der Basisvektor (Einheitsvektor) in \( \theta \)-Richtung ist:\[ \boldsymbol{\hat{\theta}} = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\,\cos(\varphi) \\ \cos(\theta)\,\sin(\varphi) \\ -\sin(\theta)\end{bmatrix} \]

Azimutwinkel

\( \varphi \)
Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( \varphi ~\in~ [0, 2\pi) \). Der Basisvektor (Einheitsvektor) in \( \varphi \)-Richtung ist:\[ \boldsymbol{\hat{\varphi}} = \begin{bmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{bmatrix} \]
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Kugelkoordinaten sind sinnvoll bei der Beschreibung von rotationssymmetrischen Körpern oder Feldern (wie z.B. Gravitationsfeld).
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