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Formel: Kontinuierliche Ladungsverteilung (2d) Elektrisches Feld   Flächenladungsdichte  

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
\[ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0}\,\int_{A}\frac{\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}|^3}\,\sigma(\boldsymbol{r})\,\text{d}a \] \[ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0}\,\int_{A}\frac{\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r}|^3}\,\sigma(\boldsymbol{r})\,\text{d}a \]
E-Feld - kontinuierliche Ladungsverteilung (Flächenladungsdichte)

Elektrisches Feld

\( \boldsymbol{E}(\boldsymbol{R}) \)
Einheit \( \frac{\text{V}}{\text{m}} \)
Das E-Feld gibt an, wie groß und in welche Richtung die elektrische Kraft am Ort \(\boldsymbol{R}\) auf eine Probeladung wirken würde, wenn diese an dem betrachteten Ort platziert wird.

Ortsvektor

\( \boldsymbol{r} \)
Einheit \( \text{m} \)
Dieser geht vom Koordinatenursprung zu einem Ort innerhalb der zwedimensionalen Ladungsverteilung.

Feldvektor

\( \boldsymbol{R} \)
Einheit \( \text{m} \)
Dieser geht vom Koordinatenursprung zum Ort (Feldpunkt), an dem das elektrische Feld berechnet werden soll.

Der Verbindungsvektor \(\boldsymbol{R} - \boldsymbol{r}\) ist der Vektor, der von einem Punkt der Ladungsverteilung \(\boldsymbol{r}\) zum betrachteten Feldpunkt \(\boldsymbol{R}\) verläuft. Hierbei ist \(\frac{\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{R} ~-~ \boldsymbol{r}|}\) der Einheitsvektor des Verbindungsvektors.

Flächenladungsdichte

\( \sigma(\boldsymbol{r}) \)
Einheit \( \text{C}/\text{m}^2 \)
Ladung pro Fläche am Ort \(\boldsymbol{r}\) innerhalb der betrachteten zweidimensionalen Ladungsverteilung.

Fläche

\( A \)
Die Fläche der betrachteten zwedimensionalen Ladungsverteilung, die das elektrische Feld erzeugt.

Elektrische Feldkonstante

\( \varepsilon_0 \)
Einheit \( \frac{\text{As}}{\text{Vm}} \)
Es ist eine Naturkonstante und hat den Wert \( \varepsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \, \frac{\text{As}}{\text{Vm}} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit diesem Integral kann das E-Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung berechnet werden, wenn die Flächenladungsdichte gegeben ist.
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