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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Formel: Unendlich hoher 1d-Potentialkasten Wellenfunktion   Quantenzahl   Länge  

\[ \psi_n(x) ~=~ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}\,x\right)~, & 0\leq x \leq L \\\\ 0~, & x\lt0,x\gt L \end{cases} \] \[ \psi_n(x) ~=~ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi}{L}\,x\right)~, & 0\leq x \leq L \\\\ 0~, & x\lt0,x\gt L \end{cases} \]
Wellenfunktionen - unendlich hoher Potentialtopf (1D)

Wellenfunktion

\( \psi_n \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text m}} \)
\(n\)-te eindimensionale Wellenfunktion \(\psi_n\) ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein gebundenes Teilchen (z.B. ein Elektron) in einem eindimensionalen, unendlich hohen Potentialtopf. Das Betragsquadrat \( |\psi_n|^2 \) der Wellenfunktion ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, die dazu benutzt wird, um die Wahrscheinlich zu berechnen, ein Teilchen an einem bestimmten Ort im Potentialkasten zu bestimmen.

Außerhalb des Potentialkastens verschwindet die Wellenfunktion. Die Wahrscheinlichkeit das Teilchens außerhalb des Potentialkastens zu finden, ist somit Null.

Quantenzahl

\( n \)
Einheit \( - \)
Die Quantenzahl nimmt diskrete Werte an: \( n ~=~ 1,2,3... \). Für \( n ~=~ 1 \) ergibt sich eine Wellenfunktion \( \psi_1(x) \) eines gebundenen Teilchens im Grundzustand:\[ \psi_1(x) ~=~ \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi}{L}\,x\right) \]

Ortskoordinate

\( x \)
Einheit \( \text{m} \)
Ortskoordinate des eindimensionalen Potentialkastens. Diese bestimmt die Grenzen des Potentialkastens. Bei \( x = 0 \) und \( x = L \) liegen seine Grenzen.

Länge

\( L \)
Einheit \( \text{m} \)
Länge des eindimensionalen Potentialkastens, wo das Potential Null ist.
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Lösung der Schrödinger-Gleichung (Wellenfunktion) für ein gebundenes Teilchen im unendlich hohen Potentialkasten.
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