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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Formel: Stationäre Schrödinger-Gleichung in sphärischen Koordinaten

\[ W \, \psi ~=~ - \frac{\hbar^2}{2m} \, \left[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \, \frac{\partial \psi}{\partial r} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin(\theta) \, \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) ~+~ \frac{1}{r^2 \, \sin^2(\theta)} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} \right] ~+~ W_{\text{pot}} \, \psi \]

Wellenfunktion

\( \psi \)
Einheit \( \frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}} \)
Wahrscheinlichkeitsamplitude, mit der die Wahrscheinlichkeit ein quantenmechanisches Teilchen irgendwo zu finden, berechnet werden kann. Sie ist von den sphärischen Koordinaten \( r, \theta, \varphi \) abhängig, aber sie hängt hier nicht von der Zeit \( t \) ab (stationäre SGL).

Gesamtenergie

\( W \)
Einheit \( \text{J} \)
Gesamtenergie des betrachteten quantenmechanischen Teilchens.

Potentielle Energie

\( W_{\text{pot}} \)
Einheit \( \text{J} \)
Potentielle Energie des quantenmechanischen Teilchens, die nur vom Abstand \( r \), vom Koordinatenursprung aus gemessen, abhängt. Diese potentielle Energie kann beispielsweise von dem externen elektrischen Feld stammen.

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Sie ist die Eigenschaft vom betrachteten quantenmechanischen Teilchen (z.B. Elektron).

Abstand

\( r \)
Einheit \( \text{m} \)
Dieser gibt den Abstand vom Ursprung des Koordinatensystems an. Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( r ~\in~ [0, \infty) \).

Polarwinkel

\( \theta \)
Einheit \( - \)
Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( \theta ~\in~ [0, \pi) \).

Azimutwinkel

\( \varphi \)
Einheit \( - \)
Es ist eine der drei sphärischen Koordinaten. Ihr Definitionsbereich ist \( \varphi ~\in~ [0, 2\pi) \).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Es ist eine Konstante und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2 \pi} ~=~ 1.054 \, 572 ~\cdot~ 10^{-34} \, \text{Js} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Formel dreidimensionale zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung in sphärischen Koordinaten (Kugelkoordinaten).
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