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Formel: Zustandsdichte (freies Elektronengas in 3d) Masse   Energie  

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
\[ D(E) ~=~ \frac{V}{2\pi^2} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \, \sqrt{E} \] \[ D(E) ~=~ \frac{V}{2\pi^2} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \, \sqrt{E} \]
Zustandsdichte - freies 3d-Elektronengas

Zustandsdichte

\( D(E) \)
Einheit \( \frac{1}{\text J} \)
Zustandsdichte eines Elektronengases - mit freien Elektronen, die untereinander nicht wechselwirken und die in einem unendlichen hohen Potential eingesperrt sind.

Die Zustandsdichte gibt die Zustände pro Energieintervall an, in diesem Fall für beide Spin-Richtungen des Elektrons. Um die Zustandsdichte für nur eine Spin-Richtung zu bekommen, muss noch mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert werden. Und, um die Zustandsdichte pro Energieintervall UND pro Volumen zu erhalten, multipliziere mit \(\frac{1}{V}\):\[ D(E) ~=~ \frac{1}{2\pi^2} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} \, \sqrt{E} \]

Volumen

\( V \)
Einheit \( \text{m}^3 \)
Quaderförmiges Volumen eines Festkörpers (z.B. eines Metalls), in dem sich das Elektronengas befindet. Mit \( V ~=~ L_{\text x} \, L_{\text y} \, L_{\text z} \).

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Masse des Fermi-Teilchens. Im Fall eines Elektronengases ist es die Masse des Elektrons.

Energie

\( E \)
Einheit \( \text{J} \)
Energie eines Zustands, den das Elektron annehmen kann. Im dreidimensionalen Elektronengas gibt es mehr Zustände bei höheren Energien: \( D \sim \sqrt{E}\).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \, 571 \, 817 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Formel kannst du die Zustandsdichte (freies dreidimensionales Elektronengas) berechnen, wenn Masse, Volumen und Energie gegeben sind.
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