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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Formel: Taylorreihe (Taylorentwicklung)

\[ f(x) ~=~ \sum_{n=1}^\infty \, \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x~-~a)^n \]

Funktion

\( f \)
Die Funktion \(f\) muss unendlich oft differenzierbar sein, damit sie als Taylorreihe dargestellt werden kann.

Entwicklungsstelle

\( a \)
Die Stelle \( x = a\), an der das Verhalten der Funktion \(f\) untersucht werden soll. Zum Beispiel das Verhalten der Funktion am Koordinatenursprung: \( a ~=~ 0 \).

n-te Ableitung

\( f^{(n)}(a) \)
Ableitung der Funktion \(f\) nach \(x\), wobei anschließend die Entwicklungsstelle \(a\) eingesetzt wird. \(n\) ist hierbei eine natürliche Zahl. Zum Beispiel für \(n=2\) ist es die zweite Ableitung \(f^{(2)}(a)\).

n Fakultät

\( n! \)
Die Fakultät 5! einer Zahl, z.B. der Zahl 5, bedeutet: \( 5! ~=~ 5*4*3*2*1 \). Außerdem gilt: \( 0! ~=~ 1 \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Formel kannst Du eine differenzierbare Funktion als eine Taylorreihe schreiben bzw. die Funktion an einer Stelle annähern.
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