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Formel Freies Elektronengas in 1d Zustandsdichte   Energie  

\[ D(E) ~=~ \frac{L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, \frac{1}{\sqrt{E}} \] \[ D(E) ~=~ \frac{L}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, \frac{1}{\sqrt{E}} \]

Zustandsdichte

\( D(E) \)
Einheit \( \frac{1}{\text J} \)

Zustandsdichte eines Elektronengases - mit freien Elektronen, die untereinander nicht wechselwirken und die in einem unendlichen hohen Potential eingesperrt sind. In diesem Fall ist das Elektronengas durch ein Potential eingesperrt, sodass es sich nur auf einer eindimensionalen Linie bewegen kann.

Die Zustandsdichte gibt die Zustände pro Energieintervall (in diesem Fall) für beide Spin-Richtungen des Elektrons. Um die Zustandsdichte für nur eine Spin-Richtung zu bekommen, musst Du noch mit \(\frac{1}{2}\) multiplizieren. Und, um die Zustandsdichte pro Energieintervall UND pro Länge zu erhalten, multipliziere mit \(\frac{1}{L}\):\[ D(E) ~=~ \frac{1}{\pi} \, \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{1/2} \, \frac{1}{\sqrt{E}} \]

Länge

\( L \)
Einheit \( \text{m} \)

Länge eines eindimensionalen Festkörpers (z.B. eines Metalls), in dem das Elektronengas eingesperrt ist.

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)

Masse des Fermi-Teilchens. Im Fall eines Elektronengases ist es die Masse des Elektrons.

Energie

\( E \)
Einheit \( \text{J} \)

Energie eines Zustands, den das Elektron annehmen kann. Im eindimensionalen Elektronengas gibt es weniger Zustände bei höheren Energien: \( D \sim \frac{1}{\sqrt{E}}\).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)

Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \, 571 \, 817 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \).

Details zum Inhalt
  • Zusammenfassung:Mit dieser Formel kannst du die Zustandsdichte (freies eindimensionales Elektronengas) berechnen, wenn Masse, Volumen und Energie gegeben sind.
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