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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Formel: Fermi-Verteilung Besetzungswahrscheinlichkeit   Energie   Chemisches Potential   Temperatur  

$$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~+~ 1}$$ $$P(W) ~=~ \frac{1}{\mathrm{e}^{ \frac{ W - \mu }{ k_{\text B} \, T}} ~+~ 1}$$ $$W ~=~ k_{\text B} \, T \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right) ~+~ \mu$$ $$\mu ~=~ W ~-~ k_{\text B} \, T \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right)$$ $$T ~=~ \frac{ W ~-~ \mu }{ k_{\text B} \, \ln\left( \frac{1}{P(W)} ~-~ 1\right) }$$ Formel umstellen
Graph der Fermi-Verteilung bei endlicher Temperatur
Fermi-, Bose- und Boltzmann-Verteilungen im Vergleich

Besetzungswahrscheinlichkeit

\( P(W) \)
Einheit \( - \)
Die Besetzungswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit \(P\) ein Zustand mit Energie \( W \) bei Temperatur \( T \) besetzt ist. Beim absoluten Nullpunkt (\(T=0 \, \text{K}\)) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand mit Energie \( W \) besetzt ist, genau 50%: \( P(W) ~=~ \frac{1}{2}\).

Energie

\( W \)
Einheit \( \text{J} \)
Energie eines Zustands, der von einem Fermion, z.B. von einem Elektron besetzt werden kann.

Chemisches Potential

\( \mu \)
Einheit \( \text{J} \)
Chemisches Potential gibt die Änderung der inneren Energie an, wenn sich die Teilchenzahl des Fermi-Gases (z.B. freien Elektronengases) ändert. Bei \( T=0 \, \text{K} \) stimmt das chemische Potential mit der Fermi-Energie überein: \( \mu = W_{\text F} \).

Temperatur

\( T \)
Einheit \( \text{K} \)
Absolute Temperatur des Fermi-Gases, z.B. eines freien Elektronengases in einem Metall.

Boltzmann-Konstante

\( k_{\text B} \)
Einheit \( \frac{\text J}{\text K} \)
Boltzmann-Konstante ist eine Naturkonstante, die öfters in der statistischen Physik und in der Thermodynamik auftritt. Sie hat den Wert: \( k_{\text B} = 1.380 \, 649 \, \cdot\, 10^{-23} \, \frac{\text J}{\text K} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Formel für Fermi-Verteilung, mit der du die Besetzungswahrscheinlichkeit berechnen kannst, wenn Energie und Temperatur gegeben sind.
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