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Formel: Freies Elektronengas in 2d Zustandsdichte  

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
\[ D ~=~ \frac{A}{\pi} \, \frac{2m}{\hbar^2} \] \[ D ~=~ \frac{A}{\pi} \, \frac{2m}{\hbar^2} \]
Zustandsdichte - freies 2d-Elektronengas

Zustandsdichte

\( D \)
Einheit \( \frac{1}{\text J} \)
Zustandsdichte eines Elektronengases - mit freien Elektronen, die untereinander nicht wechselwirken und die in einem unendlichen hohen Potential eingesperrt sind. In diesem Fall ist das Gas in einer zweidimensionalen Fläche eingesperrt und die Zustandsdichte ist unabhängig von der Energie \( E \) der Elektronen.

Die Zustandsdichte gibt die Zustände pro Energieintervall (in diesem Fall) für beide Spin-Richtungen des Elektrons. Um die Zustandsdichte für nur eine Spin-Richtung zu bekommen, musst Du noch mit \(\frac{1}{2}\) multiplizieren. Und, um die Zustandsdichte pro Energieintervall UND pro Fläche zu erhalten, multipliziere mit \(\frac{1}{A}\):\[ D ~=~ \frac{1}{\pi} \, \frac{2m}{\hbar^2} \]

Im zweidimensionalen Elektronengas gibt es in jedem Energiebreich gleich viele Zustände: \( D \sim E^0\).

Flächeninhalt

\( A \)
Einheit \( \text{m}^2 \)
Rechteckiger Flächeninhalt eines Festkörpers (z.B. eines Metalls), in dem sich das 2D-Elektronengas befindet. Mit \( A ~=~ L_{\text x} \, L_{\text y} \), mit \( L_{\text x} , L_{\text y} \) als Kantenlängen des Rechtecks.

Masse

\( m \)
Einheit \( \text{kg} \)
Masse des Fermi-Teilchens. Im Fall eines Elektronengases ist es die Masse des Elektrons.

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Naturkonstante und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \, 571 \, 817 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Mit dieser Formel kannst du die Zustandsdichte (freies zweidimensionales Elektronengas) berechnen, wenn Masse und Volumen gegeben sind.
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