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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Formel: Kommutator Drehimpuls-Operator   Impulsoperator  

\[ [ \hat{L}_i, \, \hat{p}_j ] ~=~ \varepsilon_{ijk} \, \mathrm{i} \, \hbar \, \hat{p}_k \]

Kommutator

\( [\hat{L}_i, \hat{p}_j] \)
Einheit \( \text{Js} \, \frac{\text{kg} \, \text m}{\text s} \)
Der Kommutator gibt den Anteil an, der hinzuaddiert werden muss, wenn die beiden Operatoren \(\hat{L}_i \, \hat{p}_j\) vertauscht werden: \(\hat{p}_j \, \hat{L}_i\).

Hierbei: \( i, j, k \in \{1,2,3\} \).

Drehimpuls-Operator

\( \hat{L}_i \)
Einheit \( \text{Js} \)
Es ist die \(i\)-te Komponente des Drehimpuls-Vektoroperators \( \hat{\boldsymbol{L}} \).

Impulsoperator

\( \hat{p}_j \)
Einheit \( \frac{\text{kg} \, \text m}{\text s} \)
Es ist die \(j\)-te Komponente des Impuls-Vektoroperators \( \hat{\boldsymbol{p}} \).

Levi-Civita-Tensor

\( \varepsilon_{ijk} \)
Einheit \( - \)
Mit den Indizes \( i,j,k \), die Werte von 1 bis 3 annehmen können. Je nach dem, wie ihre Kombination ist, ergibt der Tensor entweder 1, -1 oder 0. \(\varepsilon_{ijk}\) ist 1, wenn alle Indizes vertauscht werden (gerade Permutation). \(\varepsilon_{ijk}\) ist -1, wenn nur zwei der Indizes vertauscht werden (ungerade Permutation). Und, wenn mindestens zwei Indizes gleich sind, ist \(\varepsilon_{ijk} = 0\).

Imaginäre Einheit

\( \mathrm{i} \)
Einheit \( - \)
Imaginärezahl ist eine komplexe Zahl für die gilt \( \sqrt{-1} ~=~ \mathrm{i} \).

Reduziertes Wirkungsquantum

\( \hbar \)
Einheit \( \text{Js} \)
Reduziertes Wirkungsquantum ist eine Konstante (der Quantenmechanik) und hat den Wert \( \hbar ~=~ \frac{h}{2\pi} ~=~ 1.054 \,\cdot\, 10^{-34} \, \text{Js} \).
Details zur Formel
  • Zusammenfassung: Hier findest Du den Kommutator für alle Kombinationen der Drehimpuls- und Impuls- Operatoren, ausgedrückt mithilfe des Levi-Civita-Tensors.
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