Formel Erste kosmische Geschwindigkeit Geschwindigkeit Bahnradius Masse Gravitationskonstante
$$v ~=~ \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$ $$v ~=~ \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$ $$r ~=~ \frac{ G\,M }{ v^2 }$$ $$M ~=~ \frac{ r\,v^2 }{ G }$$ $$G ~=~ \frac{ r\,v^2 }{ M }$$
Geschwindigkeit
$$ v $$ Einheit $$ \frac{\mathrm m}{\mathrm s} $$ Tangentiale Geschwindigkeit des Körpers (z.B. Satellit) auf der Bahn um einen Planeten, eines Sterns oder eines anderen Zentralkörpers. Nur mit dieser Geschwindigkeit bleibt der Körper antriebslos auf seiner Kreisbahn um den Zentralkörper, ohne auf den Zentralkörper zu fallen oder sich vom Zentralkörper weiter zu entfernen.
Damit der Körper an der Erdoberfläche die Erde antriebslos umkreist, ist die folgende Geschwindigkeit des Körpers erforderlich:\[ v ~=~ \sqrt{ \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm N \, \mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} ~\cdot~5.97 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg} }{6.38 \cdot 10^6 \,\mathrm{m}} } ~=~ 7.9 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm s} \]
Bahnradius
$$ r $$ Einheit $$ \mathrm{m} $$ Der gewünschte Radius der Kreisbahn, also der Abstand des Körpers vom Mittelpunkt des Zentralkörpers. Es gilt: \( r \geq r' \), wobei \(r'\) der Radius des betrachteten Zentralkörpers ist.
Je weiter weg der Körper (z.B. Satellit) den Zentralkörper umkreisen soll (größerer Radius \(r\)), desto kleiner muss seine Bahngeschwindigkeit \(v\) sein.
Masse
$$ M $$ Einheit $$ \mathrm{kg} $$ Masse des Zentralkörpers, den zum Beispiel ein Satellit umkreisen soll. Im Fall der Erde beträgt die Masse: \( M ~=~ 5.972 \cdot 10^{24} \, \mathrm{kg} \).
Je größer die Masse des Zentralkörpers, desto größer muss die Bahngeschwindigkeit \(v\) des Satelliten sein, um antrieblos den Zentralkörper zu umkreisen.
Gravitationskonstante
$$ G $$ Einheit $$ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg} \, \mathrm{s}^2} $$ Gravitationskonstante ist eine Naturkonstante und hat den Wert: \( G = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm N \, \mathrm{m}^2}{\text{kg}^2} \).