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Wie kann das Trägheitsmoment eines starren Körpers berechnet werden?

Antwort #1

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Beantwortet von

Um das Trägheitsmoment \( I \) einer diskreten Massenverteilung zu bestimmen, musst du die einzelnen Massen \( m_i \) des Rotationskörpers und jeweils die zur Drehachse senkrechten Abstände \( r_i := r_{\perp i} \) der Massen kennen:1\[ I ~=~ \sum_i \, m_i \, r_i^2 \]

Um das Trägheitsmoment \( I \) einer kontinuierlichen Massenverteilung zu bestimmen, kann das folgende Volumenintegral berechnet werden:2\[ I ~=~ \int_V \, r_{\perp}^2 \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \]Bei gegebener Massendichte \(\rho(\boldsymbol{r})\) (die im Allgemeinen vom Ort \(\boldsymbol{r} \) abhängt) und dem senkrechtem Abstand \( r_{\perp} \) des Volumenelements \(\text{d}v\) von der Drehachse, wird über das Volumen \(V\) des Körpers integriert. Davor muss natürlich noch die Drehachse festgelegt werden.

Wenn die theoretische Bestimmung mithilfe des Integrals schwierig ist (weil der Körper keine Symmetrien hat), dann kann das Trägheitsmoment experimentell bestimmt werden. Dazu wird das Gesamtdrehmoment \(M\) und die Winkelbeschleunigung \(\alpha\) gemessen und aus ihrem Verhältnis das Trägheitsmoment berechnet:3\[ I ~=~ \frac{M}{\alpha} \]