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Was ist der Unterschied zwischen aktiver und passiver Transformation?

Ich kann ein System passiv oder aktiv transformieren. Wie unterscheiden sich diese Transformationen und was haben sie mit der Symmetrie des Systems zu tun?
Antwort #1
Level 2
Die beiden Transformationen unterscheiden sich darin, ob sie ein System real oder rein mathematisch verändern.
Links: Passive Transformation - das Koordinatensystem wird gewechselt. Rechts: Aktive Transformation - der Ball wird im Raum verschoben.

Aktive Transformation \(T_{\text a}\) - ist eine Transformation, die das System (z.B. ein Ball) physikalisch (real) verändert. Zum Beispiel könnte die Transformation den Ball im Raum verschieben oder es um 90 Grad drehen. Wenn du den Ball vom Erdboden um 10 Meter anhebst, dann hat er eine andere potentielle Energie. Dadurch verändert sich im Allgemeinen der physikalische Zustand des Balls (hier hat der neue Zustand eine höhere potentielle Energie). Wenn du den Ball dagegen um 90 Grad drehst, hat sich der Zustand des Balls nicht verändert. Dann hast du eine Symmetrie des Balls entdeckt. Die Invarianz des Systems unter aktiver Transformation ist eine Symmetrie.

Passive Transformation \(T_{\text p}\) - ist eine Koordinatentransformation. Dadurch ändert sich nur, WIE wir das System beschreiben. Zum Beispiel könnten wir die Position eines Balls in einem orthogonalen oder schiefwinkligen Koordinatensystem beschreiben. Durch den Wechsel zwischen diesen beiden Koordinatensystemen, verändern wir nicht den physikalischen Zustand des Balls. Die Invarianz des Systems unter passiver Transformation ist KEINE Symmetrie.