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Was ist der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung?

Antwort #1

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Beantwortet von

Der Unterschied zwischen einer partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) nach \(x\) und einer totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) nach \(x\) besteht darin, dass bei der partiellen Ableitung angenommen wird, dass \(y\) unabhängig ist von \(x\).

  • Bei der partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) wird \(y\) konstant gehalten.
  • Bei der totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) wird NICHT agenommen, dass \(y\) konstant ist. Die Änderung von \(x\) wirkt sich auch auf \(y\) aus.
BeispielBetrachten wir beispielsweise eine Funktion \(f(x,y) = 3x^2 ~+~ 2y \), die von \(x\) und \(y\) abhängt. Eine partielle Ableitung dieser Funktion nach \( x \) ist: \[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~=~ 6x \] Denn \(y\) ist unabhängig von \(x\), daher fällt \(2y\) Term weg, wenn dieser nach \(x\) abgeleitet wird.

Eine totale Ableitung der Funktion ist dagegen: \[ \frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x} ~=~ 6x ~+~ 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \] Hierbei fällt der zweite Term im Allgemeinen nicht weg, weil \(y(x) \) eine Funktion von \( x \) sein kann.

Eine partielle Ableitung ist also ein Spezialfall der totalen Ableitung.