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Was ist der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung?

Antwort #1

Level 3 (mit höherer Mathematik)
Beantwortet von

Video - Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung

Entsperren

Der Unterschied zwischen einer partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) nach \(x\) und einer totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) nach \(x\) besteht darin, dass bei der partiellen Ableitung angenommen wird, dass \(y\) unabhängig ist von \(x\).

  • Bei der partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) wird \(y\) konstant gehalten.

  • Bei der totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y(x))}{\text{d}x}\) wird NICHT agenommen, dass \(y\) konstant ist. Die Änderung von \(x\) wirkt sich auch auf \(y\) aus.

Beispiel

Betrachten wir beispielsweise eine Funktion \(f(x,y) = 3x^2 ~+~ 2y \), die von \(x\) und \(y\) abhängt. Eine partielle Ableitung dieser Funktion nach \( x \) ist:

Partielle Ableitung einer Beispielfunktion
Anker zu dieser Formel

Die Ableitung von \(2y\) nach \(x\) fällt weg, weil \(y\) unabhängig ist von \(x\). Eine totale Ableitung der Funktion ist dagegen:

Totale Ableitung einer Beispielfunktion
Anker zu dieser Formel

Hierbei fällt der zweite Term im Allgemeinen nicht weg, weil \(y(x) \) eine Funktion von \( x \) sein kann. Wenn \(y\) unabhängig ist von \(x\), dann stimmt die totale Ableitung mit der partiellen Ableitung überein. Eine partielle Ableitung ist also ein Spezialfall der totalen Ableitung.