Was ist der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung?
Was unterscheidet eine partielle Ableitung (notiert mit dem geschwungenen Del-Zeichen) von einer totalen Ableitung (notiert mit einem nicht-kursiven d-Zeichen)?
Antwort #1
Der Unterschied zwischen einer partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) nach \(x\) und einer totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) nach \(x\) besteht darin, dass bei der partiellen Ableitung angenommen wird, dass \(y\) unabhängig ist von \(x\).
- Bei der partiellen Ableitung \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) wird \(y\) konstant gehalten.
- Bei der totalen Ableitung \(\frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x}\) wird NICHT agenommen, dass \(y\) konstant ist. Die Änderung von \(x\) wirkt sich auch auf \(y\) aus.
BeispielBetrachten wir beispielsweise eine Funktion \(f(x,y) = 3x^2 ~+~ 2y \), die von \(x\) und \(y\) abhängt. Eine partielle Ableitung dieser Funktion nach \( x \) ist:
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} ~=~ 6x \]
Denn \(y\) ist unabhängig von \(x\), daher fällt \(2y\) Term weg, wenn dieser nach \(x\) abgeleitet wird.
Eine totale Ableitung der Funktion ist dagegen: \[ \frac{\text{d}f(x,y)}{\text{d}x} ~=~ 6x ~+~ 2 \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \] Hierbei fällt der zweite Term im Allgemeinen nicht weg, weil \(y(x) \) eine Funktion von \( x \) sein kann.
Eine partielle Ableitung ist also ein Spezialfall der totalen Ableitung.