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Was ist eine Mengenfunktion?

Antwort #1

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Beantwortet von

(1) Sei \( X \) eine nicht-leere Menge.
(2) Sei \( \mathcal{M} \subseteq \mathcal{P}(X) \) ein Mengensystem mit \( \emptyset \in \mathcal{M} \) als Teilmenge der Potenzmenge von \( X \).

Dann ist \[ \varphi: \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{C} \] eine Mengenfunktion auf \( \mathcal{M} \). Je nach Notwendigkeit kann \( \mathbb{C} \) auf die erweiterte reelle Zahlen \( \bar{\mathbb{R}} \) oder auf positive reelle Zahlen \( \mathbb{R}_+ \) eingeschränkt werden.

Beispiel: Elemente-zählende Mengenfunktion

Sei das Mengensystem \( \mathcal{M} = \{ \emptyset,~ \{7\},~ \{42, 17, 0\} \} \). Dann kann die Mengenfunktion beispielsweise die Einträge der Elemente von \( \mathcal{M} \) zählen:\[ \varphi(\emptyset) ~=~ 0, ~~~ \varphi(\{7\}) ~=~ 1, ~~~ \varphi(\{42,~ 17,~ 0\}) ~=~ 3 \]