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Was ist der Nabla-Operator?

Hier findest Du die Definition von Nabla-Operator, seine Bedeutung und worauf dieser angewendet werden kann (z.B. Gradient).
Antwort #1

Der Nabla-Operator \(\nabla\) ist ein Differentialoperator der Form:1\[ \nabla ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right) \]

Dieser enthält drei partielle Ableitungen \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \) nach den Ortskoordinaten \(x,y,z\) von einem Skalarfeld \(\varphi(x,y,z)\) oder von einem Vektorfeld \(\boldsymbol{E}(x,y,z)\).

Es gibt grundsätzlich vier Möglichkeiten den Nabla-Operator auf Skalar- und Vektorfelder anzuwenden:

  1. Gradient von einer skalaren Funktion \(\varphi\), die von den Ortsvariablen \(x,y,z\) abhängt:2\[ \nabla \, \varphi ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial z} \end{array}\right) \]Das Ergebnis ist ein Vektorfeld.
  2. Divergenz von einer vektoriellen Funktion \(\boldsymbol{E}\), die von den Ortsvariablen \(x,y,z\) abhängt:3\[ \nabla \cdot \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\partial E_1}{\partial x} + \frac{\partial E_2}{\partial y} + \frac{\partial E_3}{\partial z} \]Das Ergebnis ist ein Skalarfeld.
  3. Rotation von einer vektoriellen Funktion \(\boldsymbol{E}\), die von den Ortsvariablen \(x,y,z\) abhängt:4\[ \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial E_3}{\partial y} - \frac{\partial E_2}{\partial z} \\ \frac{\partial E_1}{\partial z} - \frac{\partial E_3}{\partial x} \\ \frac{\partial E_2}{\partial x} - \frac{\partial E_1}{\partial y} \end{array}\right) \]Das Ergebnis ist ein Vektorfeld.
  4. Dyadisches Produkt von einer vektoriellen Funktion \(\boldsymbol{E}\), die von den Ortsvariablen \(x,y,z\) abhängt:5\[ \nabla \otimes \boldsymbol{E} ~=~ \begin{pmatrix} \frac{\partial E_1}{\partial x} & \frac{\partial E_2}{\partial x} & \frac{\partial E_3}{\partial x}\\ \frac{\partial E_1}{\partial y} & \frac{\partial E_2}{\partial y} & \frac{\partial E_3}{\partial y}\\ \frac{\partial E_1}{\partial z} & \frac{\partial E_2}{\partial z} & \frac{\partial E_3}{\partial z} \end{pmatrix} \]Das Ergebnis ist eine Matrix.

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