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Was ist die Multipolentwicklung?

Hier wird die Frage beantwortet, was die Multipolentwicklung ist und wofür sie nützlich ist und zwar anhand eines Beispiels.
Antwort #1
Zerlegung einer beliebigen Ladungsverteilung in einzelne Multipole.

Multipolentwicklung ist die Annäherung einer beliebigen elektrischen Ladungsverteilung \( \rho \) durch Polynome. Die Multipolentwicklung ist also nichts anderes als eine Taylorentwicklung (in mehreren Dimensionen). Sie nähert eine Funktion (hier: \(\rho\)) durch Polynome an. Die Näherung wird umso besser, je mehr Polynome dazugenommen werden. Das erste Polynom stellt ein Monopol dar (als wäre die ganze Ladungsverteilung in einem einzigen Ladungspunkt konzentriert). Das zweite Polynom ist ein Dipol. Das dritte ist ein Quadrupol. Das vierte ist ein Oktupol und so weiter. Auf diese Weise kann dann beispielsweise das elektrische Potential mithilfe der angenäherten Ladungsverteilung berechnet werden, wobei ohne diese Näherung die analytische Lösung des Problems nicht möglich wäre.

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