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Warum ist Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie?

Antwort #1

Level 3 (mit höherer Mathematik)
Beantwortet von

Eine konservative (also energieerhaltende) Kraft \(\boldsymbol{F}\) lässt sich als der negative Gradient der potentiellen Energie \( W_{\text{pot}} \):

Konservative Kraft ist der negative Gradient der potentiellen Energie
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Der Nabla-Operator \(\nabla\), angewendet auf eine skalare Funktion \(W_{\text{pot}}(x,y,z)\): \(\nabla \, W_{\text{pot}}\) ist für eine mehrdimensionale Kraft gedacht: \(\boldsymbol{F} = (F_1, ~F_2, ~F_3)\). Wenn wir die Kraft \(F_1 := F\) nur in EINER Dimension betrachten, wird der Nabla-Operator zur partiellen Ableitung:

Konservative Kraft ist die partielle Ableitung nach dem Ort
Anker zu dieser Formel

Gleichung 2 ist nichts anderes als die Definition der Arbeit, die auf beiden Seiten abgeleitet wird, um die Gleichung 2 für die Kraft zu bekommen:

Definition der Arbeit ist equivalent zum Gradienten der potentiellen Energie
Anker zu dieser Formel

Warum ist aber in der Definition 3 der potentiellen Energie ein Minuszeichen enthalten und damit auch im Gradienten 1 der potentiellen Energie? Das Minuszeichen ist eine Definition. Doch diese Definition ist durch das Naturprinzip motiviert, dass die Natur die (potentielle) Energie eines Körpers stets zu minimieren versucht. Zum Beispiel fällt der Apfel zu Boden, um seine potentielle Energie zu minimieren. Ohne das Minuszeichen würde 1 bedeuten, dass, wenn der Apfel seine Höhe über dem Boden reduziert, seine potentielle Energie zunimmt. Um seine Energie aber zu minimieren, wird das Minuszeichen in 1 eingeführt.