Direkt zum Inhalt

Warum ist Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie?

Antwort #1

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Beantwortet von

Eine konservative (energieerhaltende) Kraft \(\boldsymbol{F}\) ist der negative Gradient der potentiellen Energie \( W \):1\[ \boldsymbol{F} ~=~ - \nabla \, W \]

Der Gradient \(\nabla \, W\) ist für eine mehrdimensionale Kraft gedacht, also z.B. für eine Kraft in drei Dimensionen: \(\boldsymbol{F} = (F_1, ~F_2, ~F_3)\). Zur Vereinfachung betrachte den eindimensionalen Fall:2\[ \boldsymbol{F} ~=~ - \frac{\partial W}{\partial x} \]

Der Gradient der potentiellen Energie \(\nabla \, W\) ist einfach nur eine Ortsableitung der potentiellen Energie in mehreren Dimensionen. Gleichung 2 folgt aus der Definition der Arbeit \(W = W_{\text{nach}} - W_{\text{vor}}\) (Differenz der Energie nachher und Energie vorher):3\[ W ~:=~ - \int_{ x_{\text{vor}} }^{ x_{\text{nach}} } F \, \text{d}x \]

Hierbei ist \(x_{\text{vor}}\) und \(x_{\text{nach}}\) die Positionen des Körpers vorher und nachher. Das Integral kann "eliminiert" werden, indem die beiden Seiten in 3 nach \(x\) abgeleitet werden. Mit dem Fundamentaltheorem der Analysis ergibt das dann die Gleichung 2. In mehreren Dimensionen ist für diese "Eliminierung" des Integrals der Nabla-Operator \(\nabla\) zuständig. Analog wie im eindimensionalen Fall wird sich Gleichung 1 in mehreren Dimensionen ergeben.

Warum ist aber in der Definition 3 der potentiellen Energie ein Minuszeichen enthalten und damit auch im Gradienten 1 der potentiellen Energie? Das Minuszeichen ist eine Definition. Doch diese Definition ist durch das Naturprinzip motiviert, dass die Natur die (potentielle) Energie eines Körpers stets zu minimieren versucht. Zum Beispiel fällt der Apfel zu Boden, um seine potentielle Energie zu minimieren. Ohne das Minuszeichen würde 1 bedeuten, dass, wenn der Apfel seine Höhe über dem Boden reduziert, seine potentielle Energie zunimmt. Um seine Energie aber zu minimieren, wird das Minuszeichen in 1 eingeführt.