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Was ist der Unterschied zwischen differentieller und integraler Form der Maxwell-Gleichungen?

Diese Physikfrage klärt, was der Unterschied zwischen Differentialform und Integralform der Maxwell-Gleichungen ist und wo die Vorteile liegen.
Antwort #1

Sowohl die integrale als auch die differentielle Form der Maxwell-Gleichungen sind äquivalent. Betrachte als Beispiel die erste Maxwell-Gleichung in differentieller Darstellungsform:\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

Und in integraler Darstellungsform:\[ \oint_A \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} ~=~ \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

Wie zu sehen: Die Integrale Form enthält ein Integral mit dem über eine geschlossene Fläche \( A \) integriert wird. Die differentielle Form dagegen enthält kein Integral, aber einen Differentialoperator, den Nabla-Operator \(\nabla\), mit dem die Änderung des elektrischen Felds \( \boldsymbol{E} \) an einem einzigen Raum- und Zeitpunkt untersucht wird.

Der Vorteil der integralen Form ist, dass mit ihr gut Probleme mit hoher Symmetrie lösen lassen, wie beispielsweise bei der Berechnung des elektrischen Feldes einer geladenen Hohlkugel, wo eine sphärische Symmetrie vorhanden ist.

Die kompaktere differentielle Form dagegen, kann beispielsweise leichter in bestimmten Herleitungen benutzt werden, wie z.B. bei der Herleitung der elektromagnetischen Wellen. Auch ist es mit der differentiellen Form leichter die Kovarianz der Elektrodynamik (die Kompatibilität mit der speziellen Relativitätstheorie) zu zeigen.

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