Was ist der Unterschied zwischen differentieller und integraler Form der Maxwell-Gleichungen?

Sowohl die integrale als auch die differentielle Form der Maxwell-Gleichungen sind äquivalent. Betrachte als Beispiel die folgende Maxwell-Gleichung in differentieller Darstellungsform:

Und die gleiche Maxwell-Gleichung in integraler Darstellungsform sieht folgendermaßen aus:

Wie du siehst: In der integralen Darstellungsform 2 integrieren wir über eine geschlossene Fläche \( A \), also über viele Raumpunkte. Die differentielle Darstellungsform enthält dagegen kein Integral, sondern einen Differentialoperator, den Nabla-Operator \(\nabla\), mit dem die Änderung des elektrischen Felds \( \boldsymbol{E} \) an einem einzigen Raum- und Zeitpunkt untersucht wird.

Der Vorteil der integralen Form ist, dass mit ihr gut Probleme mit hoher Symmetrie lösen lassen, wie beispielsweise bei der Berechnung des elektrischen Feldes einer geladenen Hohlkugel, wo eine sphärische Symmetrie vorhanden ist.

Der Vorteil der differentiellen Form ist, dass sie kompakt geschrieben werden kann und ist nützlich in bestimmten Herleitungen, wie zum Beispiel bei der Herleitung der elektromagnetischen Wellen. Auch ist es mit der differentiellen Form leichter die Kovarianz der Elektrodynamik (also die Kompatibilität mit der speziellen Relativitätstheorie) zu zeigen.