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Welche Einheit hat die Wellenfunktion?

Hier erfährst Du die Einheit (Dimension) der Wellenfunktion aus der Quantenmechanik, sowohl in 3D, 2D als auch 1D Systemen.
Antwort #1
Level 3

Die quantenmechanische Wellenfunktion \( \Psi \), die beispielsweise in der Schrödinger-Gleichung steckt, hat eine Einheit, die von der Dimension des jeweiligen Problems abhängt.

Beispielhaft skizziertes Betragsquadrat der Wellenfunktion (1D) mit der Einheit 'Wahrscheinlichkeit pro Länge'.

In drei Dimensionen: Die Einheit der Wellenfunktion \( \Psi_{3\text D} \) lässt sich beispielsweise leicht aus dem Betragsquadrat \( |\Psi_{3\text D}|^2 \) der Wellenfunktion ermitteln. Denn das Betragsquadrat ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, hat also die Einheit: \( |\Psi_{3\text D}|^2 = \left[1/\text{m}^3\right] \). Wenn Du auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, bekommst Du:

Einheit der Wellenfunktion in 3D\[ [\Psi_{3\text D}] ~=~ \left[\frac{1}{\sqrt{\text{m}^3}}\right] \]

In zwei Dimensionen: Auch hier lässt sich die Einheit der Wellenfunktion \( \Psi_{2\text D} \) aus dem Betragsquadrat \( |\Psi_{2\text D}|^2 \) ermitteln. Mit dem einzigen Unterschied, dass zweidimensionale Systeme natürlich auf eine Fläche beschränkt sind: \( |\Psi_{2\text D}|^2 = \left[1/\text{m}^2\right] \). Wenn Du auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, bekommst Du:

Einheit der Wellenfunktion in 2D\[ [\Psi_{2\text D}] ~=~ \left[\frac{1}{\sqrt{\text{m}^2}}\right] ~=~ \left[\frac{1}{\text{m}}\right] \]

In einer Dimensionen: Hier gehst Du analog vor, nur dass das System jetzt auf eine Linie (1D) eingeschränkt ist, d.h. \( |\Psi_{1\text D}|^2 = \left[1/\text{m}\right] \). Für die Einheit der Wellenfunktion folgt also:

Einheit der Wellenfunktion in 1D\[ [\Psi_{1\text D}] ~=~ \left[\frac{1}{\sqrt{\text{m}}}\right] \]