Was ist das Ehrenfest-Theorem?
Hier lernst Du, was das Ehrenfest-Theorem besagt, wie es mathematisch lautet und wo er in der klassischen Mechanik zu finden ist.
Antwort #1
Das Ehrenfest-Theorem sagt aus, wie klassische Mechanik mit der Quantenmechanik zusammenhängt, nämlich, dass unter bestimmten Bedingungen, klassische Gleichungen für die Mittelwerte quantenmechanischer Größen gelten.
Allgemein lautet das Ehrenfest-Theorem:
\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \langle\hat{A}\rangle ~=~ \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle ~+~ \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle \]
Hierbei ist \( \hat{A} \) irgendein quantenmechanischer Operator und \( [\hat{H}, \hat{A}] \) ist der Kommutator des Energie-Operators und des Operators \( \hat{A} \). \( \langle\hat{A}\rangle \) ist der Mittelwert des Operators.
Diese quantenmechanische Gleichung ist analog zur totalen Zeitableitung einer klassischen Funktion \( f(q,p,t) \) (mit \(q,p,t\) generalisierten Koordinaten im Hamilton-Formalismus):\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} f(q,p,t) ~=~ - \{H,f\} ~+~ \frac{\partial f}{\partial t} \]wobei \( \{H,f\} \) die Poisson-Klammer von der Hamilton-Funktion \( H \) und \( f \) ist.