Illustration Minimierung eines Wirkungsfunktionals zwischen zwei Punkten

Eindimensionales Beispiel zur Minimierung eines Wirkungsfunktionals \( S[y] \) zwischen zwei Punkten \(x_1\) und \(x_2\). Das Ziel ist es, eine Funktion \(y(x)\) zu finden, die das folgende Wirkungsfunktional (stationär) minimal macht:\[ S[y] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, F(y,y',x) \]

Die gesuchte Funktion \(y(x)\) muss dabei an den Rändern bestimmte festgelegte Werte \( y(x_1) = y_1 \) und \(y(x_2) = y_2 \) annehmen. Zwischen diesen Rändern werden alle möglichen Funktionen \(y(x)\) betrachtet und nach einer Funktion gesucht, die das Wirkungsfunktional \( S[y] \) minimal macht.