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Illustration Drei Ebenen mit einer gemeinsamen Schnittlinie - mehrere Lösungen des LGS

Drei Ebenen mit einer gemeinsamen Schnittlinie - mehrere Lösungen des LGS
Drei Ebenen mit einer gemeinsamen Schnittlinie
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Ein lineares Gleichungssystem (LGS), das aus drei Gleichungen besteht,\begin{align} a_{11} \, \class{red}{x} ~+~ a_{12} \, \class{blue}{y} ~+~ a_{13} \, \class{green}{z} & ~=~ b_{1}\\\\ a_{21} \, \class{red}{x} ~+~ a_{22} \, \class{blue}{y} ~+~ a_{23} \, \class{green}{z} &~=~ b_{2}\\\\ a_{31} \, \class{red}{x} ~+~ a_{32} \, \class{blue}{y} ~+~ a_{33} \, \class{green}{z} &~=~ b_{3} \end{align}ist beispielhaft in einem dreidimensionalen Diagramm eingezeichnet, das durch die \( \class{blue}{x} \)-, \( \class{red}{y} \) und \( \class{green}{z} \)-Achsen aufgespannt wird. Jede Gleichung des LGS ergibt eine Ebene im Diagramm.

In diesem Fall hat das LGS mehrere Lösungen \((\class{red}{x}, \class{blue}{y}, \class{green}{z} )\), da die drei Ebenen eine gemeinsame Schnittlinie haben. Die Lösungen sind all die Schnittpunkte \((\class{red}{x}, \class{blue}{y}, \class{green}{z} )\), die auf dieser Schnittlinie (auch Schnittgerade genannt) liegen.