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Illustration Verschobene Delta-Funktion pickt einen Funktionswert heraus

Verschobene Delta-Funktion pickt einen Funktionswert heraus
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Die verschobene Dirac'sche Delta-Funktion \( \delta(x - x_0)\) pickt in einem Integral den Funktionswert \(f(0)\) an der Stelle \( x = x_0 \):$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, \delta(x-x_0) ~ \text{d}x ~=~ f(x_0) $$

Wenn das Integral im Intervall zwischen \(a\) und \(b\) betrachtet wird:$$ \int_{a}^{b} f(x) \, \delta(x-x_0) ~ \text{d}x ~=~ f(x_0) $$dann muss \(x=x_0\) in diesem Intervall liegen, ansonsten ist das Integral Null.