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Illustration Geschlossenes Linienintegral über ein Vektorfeld

Geschlossenes Linienintegral über ein Vektorfeld
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Ein geschlossenes Linienintegral von einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang einer Linie:\[ \oint_L \boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{l}\]hierbei ist \(\text{d}\boldsymbol{l}\) ein infinitesimales Linienelement entlang der betrachteten Linie \(L\), deren Anfang und Ende miteinander verbunden sind.

Um das Skalarprodukt im Integral zu veranschaulichen, wird das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in einen zu \(\text{d}\boldsymbol{l}\) parallelen Anteil \(\boldsymbol{F}_{||}\) und in einen zu \(\text{d}\boldsymbol{l}\) orthogonalen Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\) aufgeteilt. Das Skalarprodukt mit dem orthogonalen Anteil trägt nicht zum Linienintegral bei: \(\boldsymbol{F}_{\perp} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} = 0 \).