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Illustration Dispersionsrelation der Gitterschwingungen eines einatomigen Kristallgitters

Dispersionsrelation der Gitterschwingungen eines einatomigen Kristallgitters
Dispersionsrelation der Gitterschwingungen - einatomiges Kristallgitter
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Hier siehst Du die Dispersionsrelation \( \omega (k) \) (Abhängigkeit der Frequenz \(\omega\) von der Wellenzahl \(k\)) für ein einatomiges Kristallgitter, welches aus Atomketten besteht, die einen Abstand \(a\) (genannt Gitterkonstante) zueinander haben. Mit dieser Relation wird beschrieben, wie ein Kristallgitter schwingt.

Normalerweise ist die resultierende Dispersionsrelation eine periodische Funktion. Da aber in all den anderen Perioden keine zusätzliche Information über die Gitterschwingungen enthalten ist, wird sie auf die 1. Brillouin-Zone reduziert, die im Bereich von \( -\frac{\pi}{a} \) bis \( \frac{\pi}{a} \) liegt. Bei dieser Dispersionsrelation ist sogar eine Reduktion nur auf die rechte hälfte der 1. Brillouin-Zone ausreichend.

Am Rand der 1. Brillouin-Zone (d.h. am Punkt \( \frac{\pi}{a} \)) verschwindet die Gruppengeschwindigkeit (Steigung der Funktion) und es ergeben sich stehende Wellen für alle Wellen, die die Wellenzahl \( k = \frac{\pi}{a} \) besitzen.