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Kurs Mathematik für Physikbegeisterte II

Weiterführende Werkzeuge aus der Mathematik für Physiker.
Eine zweidimensionale Skalarfunktion - 3D Plot
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
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    Video

    Kronecker-Delta in 12 Minuten einfach erklärt!

    In diesem Video lernst du das Kronecker-Delta und 4 wichtige Rechenregeln zum Vereinfachen der Ausdrücke in Indexnotation kennen und wie du das Skalarprodukt mit Kronecker-Delta schreiben kannst.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Hallöchen!
    2. [00:40​] Definition und Beispiele
    3. [01:53​] Einstein-Summenkonvention
    4. [03:10​] 4 Rechenregeln zum Vereinfachen der Ausdrücke
    5. [07:26​] Skalarprodukt in Indexnotation mittels Kronecker-Delta
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Ausdrücke mit Kronecker-Delta vereinfachen

    Hier übst Du die Eigenschaften des Kronecker-Deltas, indem Du Du gegebene Ausdrücke so weit wie möglich vereinfachst.

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    Video

    Levi-Civita-Symbol & Kronecker-Delta in 8 Minuten einfach erklärt!

    Hier lernst Du das sogenannte Kronecker-Delta und Levi-Civita-Symbol (oder auch Epsilon-Tensor genannt), zwei Symbole aus der Indexrechnung.

    Inhalt des Videos
    1. ⏲ [0:12] Kronecker-Delta
    2. ⏲ [3:27] Levi-Civita-Symbol
    3. ⏲ [5:25] Kreuzprodukt in Indexnotation
    4. ⏲ [6:18] Spatprodukt: Beweis der Identität
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Tensor

    In dieser Aufgabe (+ Lösung) berechnest Du das Kreuzprodukt von zwei Vektoren mithilfe der Definition des Epsilon-Tensors.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    BAC-CAB-Regel mit Indexnotation herleiten

    In dieser Aufgabe leitest Du BAC-CAB-Formel mttels Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta her; aus dem doppelten Kreuzprodukt.

    Übung mit Lösung
    Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)

    Magnetfeld aus dem Vektorpotential berechnen

    Aufgabe zur Rotation und der Indexnotation mit ausführlicher Lösung: hier rechnest Du das Magnetfeld mittels Epsilon-Tensor, Kroencker-Delta und Ableitung aus.

    Übung mit Lösung
    Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)

    Rotation der Rotation eines Vektorfeldes

    Hier lernst Du anhand einer Aufgabe (mit Lösung) die zweimalige Anwendung des Rotation-Operators auf ein beliebiges Vektorfeld. Nützlich für die Wellengleichung.

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    Übungsaufgaben mit Lösungen
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    Video

    Differentialgleichungen und die 4 nützlichsten Lösungsmethoden, die jeder Physiker kennen sollte

    Nach dem Video wirst du den Typ einer Differentialgleichung erkennen können und wie du einfache DGL mittels 4 Methoden lösen kannst.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Anwendungen der Differentialgleichungen
    2. [00:32] Was ist eine Differentialgleichung (DGL)?
    3. [03:05] Unterschiedliche Notation einer DGL
    4. [04:30] Was soll ich mit einer DGL tun?
    5. [05:33] Eine DGL erkennen
    6. [06:33] Was sind gekoppelte DGL?
    7. [07:40] Klassifizierung: Welche DGL-Typen gibt es?
    8. [14:01] Was sind Nebenbedingungen?
    9. [16:06] Unterschied zwischen Rand- und Anfangsbedingungen
    10. [18:26] Lösungsmethode #1: Trennung der Variablen (TdV)
    11. [20:54] Beispiel: Zerfallsgesetz
    12. [22:36] Lösungsmethode #2: Variation der Konstanten (VdK)
    13. [25:45] Beispiel: RL-Schaltung
    14. [29:00] Lösungsmethode #3: Exponentialansatz
    15. [34:36] Beispiel: Schwingende Feder
    16. [41:01] Lösungsmethode #4: Separationsansatz
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    Video

    Homogene DGL 1. Ordnung lösen mit Trennung der Variablen (+ Beispiel)

    Hier lernst du, wie man homogene lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit der Lösungsmethode "Trennung der Variablen" (Trennung der Veränderlichen) lösen kann.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Wozu ist TdV-Methode gut?
    2. [00:39] Herleitung der Trennung der Variablen
    3. [02:25] Beispiel: Zerfallsgesetz
    Übungsaufgaben mit Lösungen
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    Video

    Lineare DGL 2. Ordnung lösen mit Exponentialansatz ( + Beispiel)

    Lerne, wie mit dem Exponentialansatz, (in)homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung gelöst werden können. Es wird die DGL des harmonischen Oszillators gelöst.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Wozu ist Exponentialansatz gut?
    2. [00:20] Herleitung: Exponentialansatz
    3. [02:10] Charakteristische Gleichung
    4. [05:32] Beispiel: Ungedämpfter harmonischer Oszillator
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    Video

    Partielle Differentialgleichung lösen mit Produktansatz

    Lerne, wie man partielle Differentialgleichungen (DGL) mit Separation der Variablen (Produktansatz) löst. Hier machen wir ein Beispiel mit der eindimensionalen Wellengleichung.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Wozu ist der Produktansatz gut?
    2. [00:23] Beispiel: 1d-Wellengleichung separieren
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    Passende Formeln
    Formel

    Nabla-Operator in sphärischen Koordinaten

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    Video

    Gradient eines Vektorfelds in 7 Minuten einfach erklärt!

    Hier lernst du, wie man Gradient berechnen kann. Außerdem, warum Gradient den größten Anstieg darstellt und, wie Richtungsableitung funktioniert.

    Inhalt des Videos
    1. Nabla-Operator
    2. Skalar- und Vektorfelder
    3. Gradient + Beispiel
    4. Richtung des steilsten Anstiegs
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Produktregel für den Gradient / Nabla-Operator (2D)

    In dieser Übung (mit ausführlicher Lösung) leitest Du die Produktregel her, in der Du den Gradienten von zwei skalaren Funktionen ausrechnest.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Gradient vom Betrag r eines Ortsvektors

    In dieser Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) lernst Du den Gradienten vom Betrag eines Ortsvektors zu berechnen.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

    Hier berechnest Du den Gradienten von zwei Funktionen, die in der Physik sehr oft vorkommen. Anschließend kannst Du Deine Lösung überprüfen.

    Passende Formeln
    Formel

    Gradient einer skalaren Funktion

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    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Passende Illustrationen
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    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

    In dieser Aufgabe (mit Lösung) bestimmst Du das elektrische Feld innerhalb & außerhalb eines Hohlzylinders mit einer homogenen Ladungsdichte.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Geladene unendliche Ebene: Elektrisches Feld

    Hier übst Du an einer Aufgabe (mit Lösung) das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten, homogen geladenen Ebene zu berechnen.

    Herleitungen & Experimente
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