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Kurs Mathematik für Physikbegeisterte II

Weiterführende Werkzeuge aus der Mathematik für Physiker.
Eine zweidimensionale Skalarfunktion - 3D Plot
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
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    Video

    Kronecker-Delta in 12 Minuten einfach erklärt!

    In diesem Video lernst du das Kronecker-Delta und 4 wichtige Rechenregeln zum Vereinfachen der Ausdrücke in Indexnotation kennen und wie du das Skalarprodukt mit Kronecker-Delta schreiben kannst.

    Inhalt des Videos
    1. [00:00] Hallöchen!
    2. [00:40​] Definition und Beispiele
    3. [01:53​] Einstein-Summenkonvention
    4. [03:10​] 4 Rechenregeln zum Vereinfachen der Ausdrücke
    5. [07:26​] Skalarprodukt in Indexnotation mittels Kronecker-Delta
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Ausdrücke mit Kronecker-Delta vereinfachen

    Hier übst Du die Eigenschaften des Kronecker-Deltas, indem Du Du gegebene Ausdrücke so weit wie möglich vereinfachst.

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    Video

    Levi-Civita-Symbol & Kronecker-Delta in 8 Minuten einfach erklärt!

    Hier lernst Du das sogenannte Kronecker-Delta und Levi-Civita-Symbol (oder auch Epsilon-Tensor genannt), zwei Symbole aus der Indexrechnung.

    Inhalt des Videos
    1. ⏲ [0:12] Kronecker-Delta
    2. ⏲ [3:27] Levi-Civita-Symbol
    3. ⏲ [5:25] Kreuzprodukt in Indexnotation
    4. ⏲ [6:18] Spatprodukt: Beweis der Identität
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Kreuzprodukt mittels Levi-Civita-Tensor

    In dieser Aufgabe (+ Lösung) berechnest Du das Kreuzprodukt von zwei Vektoren mithilfe der Definition des Epsilon-Tensors.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    BAC-CAB-Regel mit Indexnotation herleiten

    In dieser Aufgabe leitest Du BAC-CAB-Formel mttels Epsilon-Tensor und Kronecker-Delta her; aus dem doppelten Kreuzprodukt.

    Übung mit Lösung
    Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)

    Magnetfeld aus dem Vektorpotential berechnen

    Aufgabe zur Rotation und der Indexnotation mit ausführlicher Lösung: hier rechnest Du das Magnetfeld mittels Epsilon-Tensor, Kroencker-Delta und Ableitung aus.

    Übung mit Lösung
    Level 4 (für sehr fortgeschrittene Studenten)

    Rotation der Rotation eines Vektorfeldes

    Hier lernst Du anhand einer Aufgabe (mit Lösung) die zweimalige Anwendung des Rotation-Operators auf ein beliebiges Vektorfeld. Nützlich für die Wellengleichung.

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    Übungsaufgaben mit Lösungen
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    Lektion

    Differentialgleichungen (DGL): Grundlagen + 4 Lösungsmethoden

    Hier lernst du die Grundlagen zu den Differentialgleichungen (DGL) kennen, welche Typen es gibt (gewöhnlich, partiell, linear, homogen) und 4 Lösungsverfahren (Trennung der Variablen, Variation der Konstanten, Exponentialansatz und Separationsansatz).

    Video

    Differentialgleichungen in 45 Minuten ausführlich erklärt!

    Nach dem Video wirst du den Typ einer Differentialgleichung erkennen können und wie du einfache DGL mittels 4 Methoden lösen kannst.

    Inhalt des Videos
    1. [00:14] Was bringen mir Differentialgleichungen?
    2. [00:46] Was ist eine Differentialgleichung (DGL)?
    3. [03:19] Unterschiedliche Notation einer DGL
    4. [04:44] Was soll ich mit einer DGL tun?
    5. [05:47] Eine DGL erkennen
    6. [07:21] Was sind gekoppelte DGL?
    7. [07:54] Klassifizierung: Welche DGL-Typen gibt es?
    8. [10:08] Was sind Nebenbedingungen?
    9. [16:10] Unterschied zwischen Rand- und Anfangsbedingungen
    10. [18:40] Lösungsmethode #1: Trennung der Variablen (TdV)
    11. [21:08] Beispiel: Zerfallsgesetz
    12. [22:50] Lösungsmethode #2: Variation der Konstanten (VdK)
    13. [25:59] Beispiel: RL-Schaltung
    14. [29:14] Lösungsmethode #3: Exponentialansatz
    15. [34:50] Beispiel: Schwingende Feder
    16. [41:15] Lösungsmethode #4: Separationsansatz
    Übungsaufgaben mit Lösungen
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    Passende Formeln
    Formel

    Nabla-Operator in sphärischen Koordinaten

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    Video

    Gradient eines Vektorfelds in 7 Minuten einfach erklärt!

    Hier lernst du, wie man Gradient berechnen kann. Außerdem, warum Gradient den größten Anstieg darstellt und, wie Richtungsableitung funktioniert.

    Inhalt des Videos
    1. Nabla-Operator
    2. Skalar- und Vektorfelder
    3. Gradient + Beispiel
    4. Richtung des steilsten Anstiegs
    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Produktregel für den Gradient / Nabla-Operator (2D)

    In dieser Übung (mit ausführlicher Lösung) leitest Du die Produktregel her, in der Du den Gradienten von zwei skalaren Funktionen ausrechnest.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Gradient vom Betrag r eines Ortsvektors

    In dieser Aufgabe (mit ausführlicher Lösung) lernst Du den Gradienten vom Betrag eines Ortsvektors zu berechnen.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Gradient von 1/r und 1/|r-r'| berechnen

    Hier berechnest Du den Gradienten von zwei Funktionen, die in der Physik sehr oft vorkommen. Anschließend kannst Du Deine Lösung überprüfen.

    Passende Formeln
    Formel

    Gradient einer skalaren Funktion

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    Übungsaufgaben mit Lösungen
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    Übungsaufgaben mit Lösungen
    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Geladener Hohlzylinder: E-Feld innerhalb & außerhalb

    In dieser Aufgabe (mit Lösung) bestimmst Du das elektrische Feld innerhalb & außerhalb eines Hohlzylinders mit einer homogenen Ladungsdichte.

    Übung mit Lösung
    Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)

    Geladene unendliche Ebene: Elektrisches Feld

    Hier übst Du an einer Aufgabe (mit Lösung) das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten, homogen geladenen Ebene zu berechnen.

    Herleitungen & Experimente
Passende Übungsaufgaben
Formelsammlung
Formel

Kreuzprodukt (Definition)

Formel

Doppeltes Kreuzprodukt (BAC-CAB-Regel)

Formel

Gradient einer skalaren Funktion

Formel

Rotation eines Vektorfeldes

Formel

Polarkoordinaten

Formel

Zylinderkoordinaten

Formel

Nabla-Operator in sphärischen Koordinaten

Formel

Laplace-Operator (sphärische Koordinaten)