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Die 4 Maxwell-Gleichungen: Wichtige Grundlagen anschaulich erklärt

Maxwell-Gleichungen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Technische Anwendungen der Maxwell-Gleichungen Hier lernst du die technischen Anwendungen, die uns die Maxwell-Gleichungen ermöglichen.
  2. 1. Zutat: Das elektrische E-Feld Hier lernst du das elektrische Feld kennen, das in zwei von vier Maxwell-Gleichungen vorkommt.
  3. 2. Zutat: Das magnetische B-Feld Hier lernst du das Magnetfeld kennen, das in zwei von vier Maxwell-Gleichungen vorkommt, und was es mit einem Kreuzprodukt zu tun hat.
  4. Mathematik in den Maxwell-Gleichungen: Gauß-Integraltheorem Eines der zwei mathematischen Theoreme, das für das tiefere Verständnis der Maxwell-Gleichungen notwendig ist. Außerdem lernst du die Divergenz eines Vektorfeldes kennen sowie den elektrischen und magnetischen Fluss.
  5. Mathematik in den Maxwell-Gleichungen: Stokes-Integraltheorem Das zweite mathematische Theorem, das für das tiefere Verständnis der Maxwell-Gleichungen notwendig ist. Hierbei lernst du auch die elektrische und magnetische Spannung.
  6. Die 1. Maxwell-Gleichung Hier lernst du wie elektrische Felder mit elektrischen Ladungen zusammehängen.
  7. 2. Maxwell-Gleichung Hier lernst du warum es keine magnetischen Monopole gibt.
  8. Die 3. Maxwell-Gleichung Hier lernst du wie elektrische Wirbelfelder mit zeitlich veränderlichen Magnetfeldern zusammenhängen.
  9. Die 4. Maxwell-Gleichung Hier lernst du wie ein zeitlich veränderliches elektrisches Feld und ein elektrischer Strom mit dem magnetischen Wirbelfeld zusammenhängen.

Video - Maxwell-Gleichungen in 41 Minuten komplett verstehen!

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Das Ziel dieser Lektion ist es nicht die Maxwell-Gleichungen theoretisch oder experimentell herzuleiten, sondern diese so einfach und verständlich wie möglich zu erklären. Hier lernst du aber auch die dazu notwendige Mathematik so anschaulich wie möglich. Das Wissen, was eine partielle Ableitung und was ein Integral ist, solltest du aber schon mitbringen.

Technische Anwendungen der Maxwell-Gleichungen

Die vier Maxwell-Gleichungen beinhalten zusammen mit der Lorentzkraft das gesamte Wissen der Elektrodynamik. Von dieser gibt es so viele Anwendungen, dass ich sie gar nicht alle in diesem Video aufzählen kann, aber einige davon sind zum Beispiel:

  • Elektronische Geräte wie Computer und Handys. In denen stecken nämlich elektrische Kondensatoren, Spulen und insgesamt ganze Stromschaltkreise, die die Maxwell-Gleichungen ausnutzen.

  • Stromerzeugung - egal ob aus Kern-, Wind- oder Wasserkraftwerken, die freigesetzte Energie muss zuerst in elektrische Energie umgewandelt werden, damit die Menschen diese nutzen können. Das passiert mit elektrischen Generatoren. Diese basieren wiederum auf den Maxwell-Gleichungen.

  • Stromversorgung der Menschheit. Um elektrischen Strom mit möglichst geringem Energieverlust in die Haushalte zu transportieren, werden Wechselspannungen und Transformatoren benötigt.

  • Und vieles mehr - Elektroschweißen zum Zusammenbauen der Autokarosserien, Motoren für Elektroautos, Magnetresonanztomographie in der Medizin, Wasserkocher in der Küche, das Ladegerät von deinem Handy, Radio, WLAN und so weiter.

Stell dir das vor!

Jedes Gerät, welches Elektrizität oder Magnetismus ausnutzt, basiert fundamental auf den Maxwell-Gleichungen.

Um alle vier Maxwell-Gleichungen überhaupt verstehen zu können, musst du zuerst wissen, was elektrische und magnetische Felder sind, denn diese kommen in den Gleichungen vor!

1. Zutat: Das elektrische E-Feld

Betrachte eine elektrisch geladene Kugel mit der großen Quellladung \(Q\) und eine Kugel mit der kleinen Probeladung \(q\). Die Probeladung befindet sich zu einem bestimmten Zeitpunkt im Abstand \( r \) zur Quellladung. Die Quellladung übt eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \) auf die Probeladung aus, die durch das Coulomb-Gesetz gegeben ist:

Coulomb-Gesetz für zwei Ladungen
Anker zu dieser Formel
Quellladung und Testladung beim Coulomb-Gesetz
Eine große Quellladung übt elektrische Kraft auf eine kleine Probeladung aus.

Hierbei ist \(1/4\pi\,\varepsilon_0\) ein konstanter Vorfaktor mit der elektrischen Feldkonstante \(\varepsilon_0\), die für die richtige Einheit der Kraft auf der rechten Seite des Coulomb-Gesetzes sorgt, nämlich für die Einheit Newton (N).

Was ist nun, wenn du den Wert der großen Ladung \(Q\) kennst und wissen möchtest, welche Kraft diese große Ladung auf eine andere kleine Ladung \(q\) ausübt? Du kennst aber nicht den genauen Wert dieser kleinen Ladung. Oder du lässt diesen Wert mit Absicht offen stehen und möchtest nur die elektrische Kraft betrachten, die von der großen Kugel ausgeübt wird. Dazu muss die kleine Ladung \(q\) irgendwie aus dem Coulomb-Gesetz eliminiert werden. Das erreichst du, indem du das Coulomb-Gesetz einfach auf beiden Seiten durch \(q\) dividierst:

Coulomb-Gesetz dividiert durch die Probeladung
Anker zu dieser Formel

Auf diese Weise fällt auf der rechten Seite \(q\) weg und landet stattdessen auf der linken Seite der Gleichung. Der Quotient auf der linken Seite wird als elektrisches Feld \(E\) der Quellladung \(Q\) definiert:

Definition: Elektrisches Feld
Anker zu dieser Formel
Was ist ein E-Feld?

Das elektrische Feld \(E\) gibt also die elektrische Kraft an, die auf eine kleine Ladung \(q\) wirken würde, wenn sie im Abstand \(r\) zur Quellladung \(Q\) platziert wird.

Das elektrische Feld hat die Einheit "Kraft pro Ladung" N/C oder mit einer eher üblicheren Einheit ausgedrückt: "Spannung pro Abstand" V/m. Wir haben die große Ladung als Quellladung bezeichnet, um anzudeuten, dass sie die Quelle des elektrischen Feldes ist. Und wir haben eine kleine Testladung \(q\) gewählt, damit sie das elektrische Feld der Quellladung nicht zu sehr beeinflusst.

Bis jetzt wurde jedoch nur der Betrag, also die Größe des elektrischen Feldes betrachtet, ohne die genaue Richtung des elektrischen Feldes miteinzubeziehen. Die Maxwell-Gleichungen sind jedoch allgemein und enthalten auch die Richtung des elektrischen Feldes. Deshalb muss das elektrische Feld \(E\) in einen Vektor \(\boldsymbol{E} \) verwandelt werden. Vektoren werden fett dargestellt. Handgeschrieben meistens mit einem Pfeilchen über dem Buchstaben, um sie von skalaren Größen (reinen Zahlen) zu unterscheiden.

Das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) als Vektor im dreidimensionalen Raum hat drei Komponenten \(E_{\text x}\), \(E_{\text y}\) und \(E_{\text z}\):

E-Feld-Vektor mit drei Komponenten
Anker zu dieser Formel

Die erste Komponente \(E_{\text x}(x,y,z)\) hängt von den Raumkoordinaten (\(x,~y,~z\)) ab und sie ist der Betrag des elektrischen Feldes in \(x\)-Richtung. Das heißt: Je nachdem, welcher konkrete Ort für (\(x,~y,~z\)) eingesetzt wird, ist der Betrag \(E_{\text x}\) unterschiedlich. Analog gilt es für die beiden anderen Komponenten \(E_{\text y}\) und \(E_{\text z}\), die jeweils den Betrag in \(y\) und \(z\)-Richtung angeben. Die Komponenten des elektrischen Feldes geben also praktisch an, welche elektrische Kraft auf eine Probeladung an einem bestimmten Ort in die eine, zweite oder dritte Raumrichtung wirken würde.

2. Zutat: Das magnetische B-Feld

Eine weitere wichtige fundamentale physikalische Größe, die in der zweiten und vierten Maxwell-Gleichung vorkommt, ist das magnetische Feld. Experimentell wird festgestellt, dass ein Teilchen mit der elektrischen Ladung \(q\), welches sich mit der Geschwindigkeit \(v\) in einem externen Magnetfeld bewegt, eine magnetische Kraft \(F_{\text m}\) erfährt, die das Teilchen ablenkt.

Lorentzkraft: Elektron in einem Magnetfeld
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Entstehung der Kreisbewegung durch Lorentzkraft, die senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons und zum externen Magnetfeld zeigt.

Dabei nimmt die Kraft auf das Teilchen proportional zu seiner Ladung (\(F_{\text m} \sim q\)) und zu seiner Geschwindigkeit (\(F_{\text m} \sim v\)) zu, d.h. wird die Ladung oder die Geschwindigkeit verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Kraft auf das Teilchen. Doch nicht nur das! Die Kraft nimmt auch proportional zum angelegten Magnetfeld zu. Um diese Proportionalität der Kraft und des Magnetfelds zu beschreiben, führen wir die Größe \(B\) ein. Insgesamt ist die magnetische Kraft gegeben durch:

Formel: Magnetische Kraft (Lorentzkraft)
Anker zu dieser Formel

Die Einheit der Größe \(B\) muss so sein, dass die rechte Seite der Gleichung die Einheit der Kraft ergibt, also N = kg m/s². Durch eine einfache Umformung ergibt sich die Einheit von \(B\) zu: kg/A s². Das bezeichnen wir kurz als Einheit Tesla: T = kg/A s².

Wir nennen \(B\) magnetische Flussdichte (oder kurz: magnetisches Feld oder noch kürzer B-Feld).

Die Gleichung 5 stellt nur den Betrag dar. Um die magnetische Kraft, analog zur elektrischen Kraft, vektoriell zu formulieren, wird die Kraft, die Geschwindigkeit und das Magnetfeld als Vektoren geschrieben:

Kraft-, Geschwindigkeits- und Magnetfeld als Vektoren
Anker zu dieser Formel

Jetzt sind die drei Größen keine Skalare, sondern dreidimensionale Vektoren mit den Komponenten in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung. Die Frage ist jetzt:

Wie muss der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}\) mit dem Magnetfeldvektor \(\boldsymbol{B}\) vektoriell multipliziert werden?

Wenn die Ablenkung der Ladung im Magnetfeld genauer betrachtet wird, dann kann festgestellt werden, dass die magnetische Kraft stets orthogonal, also senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung UND zu den magnetischen Feldlinien abgelenkt wird. Diese Orthogonalität kann leicht mit dem sogenannten Kreuzprodukt berücksichtigt werden.

Kreuzprodukt zwischen Geschwindigkeit und Magnetfeld
Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist wieder ein Vektor, der orthogonal zu dem Geschwindigkeitsvektor und dem Magnetfeldvektor ist.

Das Kreuzprodukt zwischen dem Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}\) und dem Magnetfeldvektor \(\boldsymbol{B}\) ist so definiert, dass das Ergebnis des Kreuzprodukts, welches ein Vektor ist, immer orthogonal auf den beiden Vektoren \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) steht:

Kreuzprodukt der Geschwindigkeit mit dem Magnetfeld
Anker zu dieser Formel

Damit also die Kraft \(\boldsymbol{F}_{\text m}\) stets orthogonal auf \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) steht, muss das Kreuzprodukt von \(\boldsymbol{v}\) und \(\boldsymbol{B}\) gebildet werden. Also lautet 5 allgemein in Vektorform:

Formel: Magnetische Kraft vektoriell
Anker zu dieser Formel
Was ist ein magnetisches B-Feld?

Die magnetische Flussdichte \(B\) beschreibt die Stärke des Magnetfelds und damit die Größe der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen.

Nun haben wir die zwei wichtigen physikalischen Zutaten kennengelernt, die in den Maxwell-Gleichungen vorkommen, nämlich das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) und das magnetische Feld \(\boldsymbol{B}\). Beides sind sogenannte Vektorfelder. Damit ist gemeint, dass jedem Ort (\(x,~y,~z\)) im Raum ein elektrischer \(\boldsymbol{E}(x,~y,~z)\) und ein magnetischer Feldvektor \(\boldsymbol{B}(x,~y,~z)\) zugeordnet werden kann, der sowohl den Betrag als auch die Richtung des elektrischen und magnetischen Feldes angibt.

Elektrische und magnetische Felder als 3d-Vektorfelder
Anker zu dieser Formel

Die vier Maxwell-Gleichungen lassen sich auf zwei unterschiedliche Weisen darstellen:

  • Es gibt die sogenannte integrale Darstellungsform, die die Maxwell-Gleichungen mit Integralen ausdrückt

  • und die differentielle Darstellungsform, die die Maxwell-Gleichungen mit Ortsableitungen ausdrückt.

Beide Darstellungsformen unterscheiden sich physikalisch nicht, mathematisch jedoch schon! Während die differentielle Form einer Maxwell-Gleichung für einen einzelnen Punkt im Raum gilt, gilt die integrale Form für einen ganzen Raumbereich. Die integrale Form eignet sich gut zur Berechnung von symmetrischen Problemen, wie die Berechnung des elektrischen Feldes einer geladenen Kugel, eines geladenen Zylinders oder einer geladenen Ebene. Die differentielle Form eignet sich eher zur Berechnung komplizierter numerischer Probleme mithilfe von Computern oder für verschiedene Herleitungen, wie beispielsweise zur Herleitung der elektromagnetischen Wellen. Außerdem sieht die differentielle Darstellungsform viel kompakter aus als die integrale Form. Beide Darstellungsformen sind nützlich und lassen sich mithilfe zweier mathematischer Theoreme ineinander umwandeln:

Wenn du die beiden Theoreme verstanden hast, wird es dir einfach fallen, die Maxwell-Gleichungen zu verstehen.

Mathematik in den Maxwell-Gleichungen: Stokes-Integraltheorem

Betrachte nun das zweite wichtige Theorem, das für das Verständnis der Maxwell-Gleichungen notwendig ist, nämlich das Stokes-Integraltheorem:

Stokes-Integraltheorem als Gleichung
Anker zu dieser Formel

Wenn du das Gauß-Integraltheorem verstanden hast, sollte dir das Stokes-Integraltheorem nicht mehr total kryptisch vorkommen. Das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) kennst du bereits. Das Skalarprodukt, der Nabla-Operator und das \(\text{d}\boldsymbol{a}\)-Element sollten dir jetzt auch bekannt vorkommen.

Betrachte zuerst die rechte Seite der Gleichung 21:

  • Das \(L\) repräsentiert eine Linie im Raum.

  • Der Kreis um das Integralzeichen herum sagt aus, dass diese Linie geschlossen sein muss, d.h. ihr Anfang und ihr Ende sind miteinander verbunden.

  • Das \(\text{d}\boldsymbol{l}\) ist ein infinitesimales Linienelement der Linie, also ein unendlich kleines Stückchen der Linie. Auch hier sollte hier auffallen, dass das \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element fett dargestellt ist, d.h. es ist eine vektorielle Größe mit einem Betrag und einer Richtung. Der Betrag des \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Elements gibt die Länge dieses Linienstückchens an und seine Richtung zeigt entlang der Linie \(L\).

Es wird nun das Skalarprodukt zwischen dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) und dem Linienelement \(\text{d}\boldsymbol{l}\) gebildet. Was die Aufgabe des Skalarproduktes ist, hast du ja bereits kennengelernt. Zuerst teilst du das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in zwei Anteile auf:

  • In den Anteil \(\boldsymbol{F}_{||}\), der parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element zeigt

  • und in den Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\), der orthogonal auf dem \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element steht.

Geschlossenes Linienintegral über ein Vektorfeld
Linienintegral über ein Vektorfeld entlang einer geschlossenen Linie. Nur der zum Linienelement parallele Anteil des Vektorfeldes trägt zum Skalarprodukt bei. Damit wird die 'Rotation' des Vektorfeldes entlang der betrachteten Linie gemessen.
Aufteilung des Vektorfeldes in eine senkrechte und eine parallele Komponente im Linienintegral

Das Skalarprodukt mit dem \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element eliminiert den orthogonalen Anteil und lässt nur den zum \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element parallelen Anteil des Vektorfeldes übrig. Da das \(\text{d}\boldsymbol{l}\)-Element an jedem Ort entlang der Linie zeigt, wird im Skalarprodukt nur der Anteil des Vektorfeldes berücksichtigt, der entlang der Linie L verläuft; alle anderen Anteile des Vektorfeldes fallen weg:

Senkrechte Komponente verschwindet im Skalarprodukt im Linienintegral

Anschließend werden die Skalarprodukte für jeden Ortspunkt auf der Linie mithilfe des Integrals in 21 aufsummiert. Ein derartiges Integral, bei dem kleine Linienelemente aufsummiert werden, heißt Linienintegral.

Was besagt das Linienintegral im Stokes-Integraltheorem?

Das Linienintegral misst, wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang der Linie \(L\) verläuft. Weil die Linie in sich geschlossen ist, kommt dieser Verlauf wieder am selben Punkt an, wo die Summation begonnen hat. Das geschlossene Linienintegral gibt also an, wie viel von dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang der geschlossenen Linie \(L\) rotiert.

Wird das Linienintegral wie in diesem Fall von einem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) betrachtet, dann wird das Ergebnis dieses Linienintegrals als Spannung \(U\) bezeichnet:

Definition der Spannung als Integral
Anker zu dieser Formel
Elektrische und magnetische Spannung
Elektrische Spannung (allgemeine Definition)
Das Linienintegral über das elektrische Feld entlang einer Linie ist die Definition der elektrischen Spannung.

Wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) in diesem Linienintegral ein elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\) ist, dann wird dieses Linienintegral als elektrische Spannung \(U_{\text e}\) entlang der Linie \(L\) bezeichnet:

Allgemeine Definition der elektrischen Spannung
Anker zu dieser Formel

Das ist übrigens die allgemeine Definition der elektrischen Spannung. Und wenn das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) dagegen ein magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\) ist, heißt das Linienintegral magnetische Spannung \(U_{\text m}\) entlang der Linie \(L\):

Allgemeine Definition der magnetischen Spannung
Anker zu dieser Formel

Die Spannung im Fall von elektrischen Feldern ist proportional zur Energie, die ein positiv geladenes Teilchen gewinnt, wenn es die Linie \(L\) durchläuft. Ein negativ geladenes Teilchen verliert dagegen diese Energie, wenn es die Linie \(L\) durchläuft. Das Linienintegral des elektrischen Feldes, also die Spannung, misst den Energiegewinn oder den Energieverlust von geladenen Teilchen, wenn diese die betrachtete Linie \(L\) durchlaufen.

Lass uns jetzt die linke Seite des Stokes-Integraltheorems 21 anschauen:

Flächeintegral im Stokes-Integraltheorem
Anker zu dieser Formel
  • Hier kommt die Fläche \(A\) vor. Diese Fläche schließt jetzt nichts ein, sondern es ist die Fläche, die von der Linie \(L\) eingeschlossen wird.

  • Das \(\text{d}\boldsymbol{a}\) ist wieder ein infinitesimales Flächenstück der Fläche \(A\) und steht orthogonal an jedem Ort auf dieser Fläche.

  • Auf der linken Seite kommt das Kreuzprodukt vor, welches du bereits bei der magnetischen Kraft 8 kennengelernt hast.

Hier wird das Kreuzprodukt zwischen dem Nabla-Operator \(\nabla\) und dem Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) gebildet. Das ist die zweite Möglichkeit Vektoren miteinander zu multiplizieren. Dieses Kreuzprodukt zwischen dem Nabla-Operator und dem Vektorfeld wird als Rotation des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) bezeichnet. Das Ergebnis ist im Gegensatz zum Skalarprodukt wieder ein Vektorfeld, welches orthogonal zu \(\boldsymbol{F}\) ist:

Kreuzprodukt zwischen Vektorfeld und Flächenelement
Anker zu dieser Formel
Was bedeutet das Kreuzprodukt mit dem Nabla-Operator?

Der Vektor \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) sagt aus, wie stark das Feld \(\boldsymbol{F}\) um einen Ortspunkt innerhalb der Fläche \(A\) rotiert.

Stokes-Integraltheorem
Stokes-Integraltheorem veranschaulicht.

Dann wird das Skalarprodukt zwischen dem neuen Vektorfeld \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) mit dem infinitesimalen Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) gebildet. Damit wird, wie du bereits weißt, nur der Anteil des Vektorfeldes \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) herausgepickt, der parallel zum Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) verläuft. Da das Flächenelement orthogonal auf der Fläche \(A\) steht, pickt das Skalarprodukt nur den Anteil von \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) heraus, der ebenfalls auf der Fläche \(A\) orthogonal steht.

Anschließend werden alle Skalarprodukte innerhalb der Fläche \(A\) mittels des Integrals in 24 aufsummiert.

Fassen wir nochmal die Aussage des Stokes-Integraltheorems zusammen: Auf der rechten Seite wird das Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) entlang einer geschlossenen Linie \(L\) aufsummiert. Es wird also die Rotation des Vektorfelds um die von dieser Linie eingeschlossenen Fläche betrachtet. Auf der linken Seite wird die Rotation \(\nabla \times \boldsymbol{F}\) des Vektorfelds \(\boldsymbol{F}\) an jedem einzelnen Punkt aufsummiert. Beide Seiten sollen nach dem Stokes-Integraltheorem gleich sein.

Was sagt das Stokes-Integraltheorem aus?

Die gesamte Rotation eines Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) innerhalb einer Fläche \(A\) entspricht der Rotation des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) entlang des Randes \(L\) dieser Fläche.

Mit dem erworbenen Vorwissen bist du nun bereit die Maxwell-Gleichungen vollständig zu verstehen!

Die 1. Maxwell-Gleichung

Dies ist die erste Maxwell-Gleichung, die durch ein Integral ausgedrückt wird:

Auf der linken Seite steht ein Flächenintegral, in dem das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) steckt. Dieses misst, wie viel von dem elektrischen Feld aus der Oberfläche \(A\) heraus- oder hineintritt. Das Integral stellt also den elektrischen Fluss \(\Phi_{\text e}\) durch die Oberfläche \(A\) dar:

Elektrischer Fluss in der ersten Maxwell-Gleichung
Anker zu dieser Formel

Auf der rechten Seite von 27 steht die Gesamtladung \(Q\), die von der Oberfläche \(A\) eingeschlossen wird (dividiert durch die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\)):

Der elektrische Fluss ist gleich der Ladung
Anker zu dieser Formel
Was bedeutet die erste Maxwell-Gleichung in integraler Form?

Der elektrische Fluss \(\Phi_{\text e}\), durch eine geschlossene Fläche \(A\) hindurch, entspricht der elektrischen Ladung \(Q\), die von dieser Fläche eingeschlossen wird.

Mit dem Gauß-Integraltheorem 19, der ein Volumenintegral mit einem Flächenintegral verknüpft, kann das Flächenintegral auf der linken Seite der ersten Maxwell-Gleichung 27 in ein Volumenintegral umgeschrieben werden:

Divergenztheorem in erste Maxwell-Gleichung eingesetzt
Anker zu dieser Formel

Die eingeschlossene Ladung \(Q\) lässt sich ebenfalls mit einem Volumenintegral ausdrücken. Die Ladung entspricht nämlich der Ladungsdichte \(\rho\) über das betrachtete Volumen \(V\) (denn LadungsDICHTE ist definitionsgemäß Ladung pro Volumen). Das heißt, dass das Volumenintegral der Ladungsdichte \(\rho\) über ein Volumen \(V\) der Ladung entspricht, die in diesem Volumen eingeschlossen ist. Damit verwandelt sich die rechte Seite der Maxwell-Gleichung in ein Volumenintegral:

Ladung durch Ladungsdichte ausgedrückt
Anker zu dieser Formel

Auf beiden Seiten wird über das gleiche Volumen \(V\) integriert. Damit diese Gleichung für beliebig gewählte Volumina \(V\) immer erfüllt ist, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein (wobei der rechte Integrand noch mit der Konstante \(1/\varepsilon_0\) multipliziert ist). Daraus ergibt sich die differentielle Form der ersten Maxwell-Gleichung:

Auf der linken Seite der differentiellen Darstellungsform steht die Divergenz des elektrischen Feldes. Sie kann positiv, negativ oder Null sein. Das Vorzeichen der Divergenz bestimmt die Art der Ladungen im betrachteten Raumpunkt:

  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist positiv, dann ist auch die Ladungsdichte \(\rho\) positiv. In diesem Raumpunkt befindet sich also eine positive Ladung, die die Quelle des elektrischen Feldes ist.

  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist negativ, dann ist auch die Ladungsdichte \(\rho\) negativ. In diesem Raumpunkt befindet sich also eine negative Ladung, die die Senke des elektrischen Feldes ist.

  • \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E}\) ist Null, dann muss auch die Ladungsdichte \(\rho\) Null sein. An diesem Raumpunkt gibt es entweder keine Ladung oder dort befindet sich genauso viel positive Ladung wie negative, sodass sich die Gesamtladung in diesem Punkt weghebt, wie z.B. bei einem idealen Dipol.

Was bedeutet die erste Maxwell-Gleichung in differentieller Form?

Die elektrischen Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes. Ladungen erzeugen elektrische Felder!

2. Maxwell-Gleichung

In der zweiten Maxwell-Gleichung kommt nichts unbekanntes mehr vor. Auf der linken Seite steht ein Flächenintegral. Jetzt jedoch nicht, wie bei der ersten Maxwell-Gleichung, über ein elektrisches Feld, sondern über ein magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\). Die zweite Maxwell-Gleichung sagt also aus, dass der magnetische Fluss durch die geschlossene Fläche \(A\) hindurch:

Magnetischer Fluss ist Null
Anker zu dieser Formel
Zweite Maxwell-Gleichung (Gauß-Integraltheorem für Magnetfelder)
Nach der zweiten Maxwell-Gleichung ist der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche stets Null. Folglich schließt die Oberfläche immer genau so viele Nordpole (positive mag. Ladung) und Südpole (negative mag. Ladung) ein.
Was bedeutet die zweite Maxwell-Gleichung in integraler Form?

Der gesamte magnetische Fluss \(\Phi_{\text m}\) durch eine geschlossene Oberfläche \(A\) hindurch, hebt sich komplett auf. Es zeigen stets genauso viele magnetische Feldvektoren in die Oberfläche hinein wie hinaus.

Mit dem Gauß-Integraltheorem kann das Flächenintegral in 33 in ein Volumenintegral überführt werden; auf diese Weise kommt die Divergenz des Magnetfeldes ins Spiel:

Flächenintegral durch Volumenintegral ersetzt
Anker zu dieser Formel

Das Integral für beliebige Volumina \(V\) ist nur dann immer Null, wenn der Integrand \(\nabla \cdot \boldsymbol{B}\) Null ist. Auf diese Weise entpuppt sich die zweite Maxwell-Gleichung in ihrer differentiellen Form:

Wenn die Divergenz Null ist, heißt das: An diesem Raumpunkt gibt es entweder keine magnetische Ladung (auch magnetischer Monopol genannt) oder dort befindet sich genauso viel positive Ladung wie negative, sodass sich die Gesamtladung in diesem Punkt weghebt, wie z.B. bei einem idealen magnetischen Dipol, der stets sowohl einen Nord- als auch einen Südpol besitzt. Da es keine magnetischen Monopole gibt, existieren keine Quellen und Senken des magnetischen Feldes. Folglich gibt es keine Raumpunkte, in denen magnetische Feldlinien entspringen oder enden können. Sie müssen daher stets in sich geschlossen sein.

Was bedeutet die zweite Maxwell-Gleichung in differentieller Form?

Es gibt keine magnetischen Ladungen, die Magnetfelder erzeugen. Es existieren keine magnetischen Monopole, sondern nur magnetische Dipole!

Die zweite Maxwell-Gleichung ist genauso wie die anderen Maxwell-Gleichungen ein experimenteller Befund. Das heißt, wenn irgendwann mal eine magnetische Ladung gefunden werden sollte, zum Beispiel ein einzelner Nordpol ohne einen zugehörigen Südpol, dann müsste die zweite Maxwell-Gleichung modifiziert werden. Dann würden die Maxwell-Gleichungen sogar noch symmetrischer, noch schöner aussehen!

Die 3. Maxwell-Gleichung

Änderung des B-Feldes erzeugt ein E-Wirbelfeld (Induktionsgesetz)
Nach der dritten Maxwell-Gleichung erzeugt ein zeitlich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld und andersherum.

Die dritte Maxwell-Gleichung ist auch unter dem Namen Induktionsgesetz bekannt. Sie ist die allgemeinste Form des Induktionsgesetzes.

Auf der linken Seite von 37 steht ein Linienintegral des elektrischen Feldes \(\boldsymbol{E}\) über eine geschlossene Linie \(L\), die die Fläche \(A\) berandet. Dieses Integral summiert alle Anteile des elektrischen Feldes auf, die entlang der Linie \(L\) verlaufen, also wie viel von dem elektrischen Feld entlang der Linie rotiert. Das Integral entspricht der elektrischen Spannung \(U_{\text e}\) entlang der Linie \(L\):

Elektrische Spannung gleich dem Linienintegral über das E-Feld
Anker zu dieser Formel

Auf der rechten Seite von 37 steht ein Flächenintegral des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) über eine Fläche \(A\). Dieses Integral entspricht dem magnetischen Fluss \(\Phi_{\text m}\) durch die Fläche \(A\) hindurch:

Magnetischer Fluss gleich dem Flächenintegral
Anker zu dieser Formel

Dieser magnetische Fluss wird nach der Zeit \(t\) differenziert:

Zeitabhängige Ableitung des magnetischen Flusses
Anker zu dieser Formel

Die Zeitableitung des magnetischen Flusses gibt an, wie stark sich der magnetische Fluss verändert, wenn die Zeit verstreicht. Es ist also die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses. Je größer diese Änderung des magnetische Flusses ist, desto größer ist das rotierende elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) in 38. Dieses rotierende elektrische Feld wird auch als elektrisches Wirbelfeld bezeichnet. Das Minuszeichen in 37 berücksichtigt die Richtung der Rotation:

Zeitabhängige Spannung ist gleich der zeitlichen Ableitung des Flächenintegrals
Anker zu dieser Formel
  • Wenn die Änderung des magnetischen Flusses positiv ist: \( \frac{\partial \Phi_{\text m}}{\partial t}\) > 0, ist die elektrische Spannung negativ: \(U_{\text e}\) < 0.

  • Wenn die Änderung des magnetischen Flusses negativ ist: \( \frac{\partial \Phi_{\text m}}{\partial t}\) < 0, ist die elektrische Spannung positiv: \(U_{\text e}\) > 0.

Die elektrische Spannung und die Änderung des magnetischen Flusses verhalten sich also entgegengesetzt zueinander. Das Minuszeichen stellt die Energieerhaltung sicher. Die Funktion des Minuszeichens hier, ist unter dem Namen Lenz-Regel bekannt. Du siehst ja, dass nach dieser Maxwell-Gleichung 37, elektrische Wirbelfelder zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen und andersherum. Die Lenz-Regel besagt nun, dass der magnetische Fluss, welcher von einem elektrischen Wirbelfeld erzeugt wird, dessen Ursache entgegenwirkt. Denn, wenn es nicht so wäre, würde sich das Wirbelfeld selbst verstärken und damit aus dem Nichts Energie erzeugen. Das ist aber unmöglich.

Was bedeutet die dritte Maxwell-Gleichung in integraler Form?

Eine Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche \(A\), erzeugt eine elektrische Spannung \(U_{\text e}\) entlang des Randes von \(A\).

Spezialfall: Zeitunabhängiges Magnetfeld

Betrachte noch einen wichtigen Spezialfall. Wenn das Magnetfeld sich zeitlich NICHT verändert, fällt die rechte Seite der Maxwell-Gleichung 37 weg:

Linienintegral des E-Feldes ist Null
Anker zu dieser Formel

Dann steht dort, dass die elektrische Spannung entlang einer geschlossenen Linie stets Null ist. Es existieren also keine elektrischen Wirbelfelder, solange sich die Magnetfelder nicht zeitlich verändern.

Würde ein Elektron die geschlossene Linie \(L\) durchlaufen, dann würde es seine Energie nicht verändern. Wie du weißt, sagt die elektrische Spannung aus, wie viel Energie ein geladenes Teilchen gewinnt oder verliert, wenn es eine Linie durchläuft. In diesem Fall ist die Spannun Null, deshalb - keine Energieveränderung.

Mit dem Stokes-Integraltheorem 21 lässt sich die integrale Darstellungsform 37 in die differentielle Form überführen. Das Stokes-Integraltheorem verknüpft ein Linienintegral mit einem Flächenintegral. Dazu wird das Linienintegral in 37 mit dem Flächenintegral ersetzt:

Kreuzprodukt-Flächenintegral ist gleich der negativen zeitlichen Ableitung des Flächenintegrals des B-Feldes
Anker zu dieser Formel

Dadurch kommt die Rotation \(\nabla \times \boldsymbol{E}\) ins Spiel. Die Zeitableitung auf der rechten Seite von 43 darf hier ins Integral hineingezogen werden. Da die Gleichung 43 für beliebige Flächen \(A\) gilt, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein. Die Gleichheit der Integranden entspricht der differentiellen Form der dritten Maxwell-Gleichung:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts mit \(\boldsymbol{E}\) ergibt wieder ein Vektorfeld, nämlich das Vektorfeld \(\nabla \times \boldsymbol{E}\), welches nach den Eigenschaften des Kreuzprodukts, orthogonal auf \(\boldsymbol{E}\) steht. Da das Ergebnis des Kreuzprodukts die Änderung des Magnetfeldes sein soll, steht der Vektor \(\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\) der Magnetfeldänderung orthogonal auf dem elektrischen Feld \(\boldsymbol{E}\).

Was bedeutet die dritte Maxwell-Gleichung in differentieller Form?

Ein sich änderndes magnetisches Feld \(\boldsymbol{B}\) erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld \(\boldsymbol{E}\) vund andersherum und zwar so, dass die Energieerhaltung erfüllt ist.

Wenn sich das Magnetfeld nicht verändert, also statisch ist, fällt die rechte Seite der Gleichung 44 weg und die dritte Maxwell-Gleichung vereinfacht sich zum elektrostatischen Fall:

Dritte Maxwell-Gleichung der Elektrostatik in differentieller Form
Anker zu dieser Formel

Diese Gleichung besagt wiederum: Solange es keine sich ändernden magnetischen Felder gibt, ist das elektrische Feld stets wirbelfrei. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, dann wird das Feld konservativ (energieerhaltend) genannt. Das elektrostatische Feld \(\boldsymbol{E}\) ist also nach 45 konservativ. Mit "elektrostatisch" ist gemeint, dass das E-Feld zeitunabhängig ist. Es wird von quasi unbeweglichen Quellen (Ladungen) des Feldes erzeugt.

Die 4. Maxwell-Gleichung

Vierte Maxwell-Gleichung: Ströme und zeitabhängige E-Felder erzeugen B-Felder
Elektrische Ströme und ein zeitabhängiges E-Feld erzeugen ein magnetisches Wirbelfeld.

Kommen wir nun zur vierten, der letzten Maxwell-Gleichung:

Auf der linken Seite steht ein Linienintegral des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) entlang der geschlossenen Linie \(L\). Das ist die Definition der magnetischen Spannung \(U_{\text m}\) wie in 24. Auf der rechten Seite von 46 kommt die elektrische Feldkonstante \(\varepsilon_0\) und die magnetische Feldkonstante \(\mu_0\) vor. Diese sorgen dafür, dass die Einheit auf beiden Seiten der Maxwell-Gleichung 46 übereinstimmt. Außerdem kommt hier etwas Neues vor, nämlich der elektrische Strom \(I\). Wenn elektrische Ladungen entlang eines Leiters fließen, dann erzeugen sie einen Strom \(I\).

Dazu kommt noch ein weiterer Summand in 46, in dem das elektrische Feld vorkommt. Das Flächenintegral des elektrischen Feldes sollte nun bekannt sein. Das ist der elektrische Fluss \(\Phi_{\text e}\) durch die Fläche \(A\) hindurch:

Magnetische Spannung ist gleich Strom plus zeitliche Flussänderung
Anker zu dieser Formel

Außerdem steht die Zeitableitung vor dem elektrischen Fluss. Das Ganze ist also die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses. Also, auf der rechten Seite von 47 stehen zwei Summanden: Ein Beitrag mit dem Strom und ein Beitrag mit der Änderung des elektrischen Flusses.

Was bedeutet die vierte Maxwell-Gleichung in integraler Form?

Das rotierende Magnetfeld \( \boldsymbol{B}(t) \) wird zum Einen durch einen elektrischen Strom \( I \) durch die Oberfläche \(A\) erzeugt und zum Anderen durch das wechselnde elektrische Feld \( \boldsymbol{E}(t) \).

Vierte Maxwell-Gleichung: Konstanter elektrischer Strom erzeugt B-Feld
Elektrische Ströme erzeugen ein B-Feld (Ampere-Gesetz).

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn sich der elektrische Fluss zeitlich nicht verändert, dann fällt der zweite Summand in 46 weg:

Ampere-Gesetz der Magnetostatik
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Lass uns nun die differentielle Darstellungsform herleiten. Mit dem Stokes-Integraltheorem 21 kann das Linienintegral in 46 in ein Flächenintegral überführt werden, auf diese Weise kommt die Rotation des Magnetfeldes \(\boldsymbol{B}\) ins Spiel:

Das Flächenintegral des B-Feldes ist gleich dem Strom plus der zeitlichen Ableitung des Flächenintegrals des E-Feldes
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Jetzt muss noch der elektrischen Strom \(I\) mit einem Flächenintegral ausgedrückt werden. Dazu wird die elektrische Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) benutzt. Sie gibt den Strom \(I\) pro Fläche \(A\) an, durch die der Strom fließt. Folglich lässt sich der Strom auch schreiben als das Flächenintegral der StromDICHTE \(\boldsymbol{j}\) über die Fläche \(A\):

Das Flächenintegral des B-Feldes ist gleich dem Integral der Stromdichte plus der zeitlichen Ableitung des Flächenintegrals des E-Feldes
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Beachte, dass hier im Integral das Skalarprodukt der Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) mit dem Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) genommen wird. Wir nehmen also nur den Teil \(\boldsymbol{j}_{||}\) des Stromdichtevektors, der parallel zum Element \(\text{d}\boldsymbol{a}\) verläuft. Nur dieser parallele Teil der Stromdichte trägt zum Strom \(I\) durch die Oberfläche \(A\) bei.

Die Zeitableitung vor dem anderen Integral beim zweiten Summanden darf hier hineingezogen werden. Die beiden Flächenintegrale können auf der rechten Seite können zu einem zusammengefasst werden, weil bei beiden Summanden über die gleiche Fläche \(A\) integriert wird:

Das Flächenintegral des B-Feldes ist gleich dem Flächenintegral der Stromdichte plus der zeitlichen Ableitung des E-Feldes
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Damit die Gleichung 51 für beliebige Flächen \(A\) erfüllt ist, müssen die Integranden auf beiden Seiten gleich sein:

Vierte Maxwell-Gleichung in differentieller Form
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Das Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) steht wegen des Kreuzprodukts sowohl orthogonal auf der Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) als auch auf dem Vektor der Änderung des elektrischen Feldes \(\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\).

Was bedeutet die vierte Maxwell-Gleichung in differentieller Form?

Die Rotation des magnetischen Feldes \(\boldsymbol{B}\) in einem Raumpunkt wird auf zwei Arten verursacht: Durch die in diesem Raumpunkt herrschende Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) und durch ein sich dort änderndes elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}(t)\).

Die Maxwell-Gleichungen verbergen noch etwas Interessantes in sich, das durch einige Umformschritte offenbart werden kann, nämlich: Elektromagnetische Wellen (Licht)! Das ist aber ein anderes Thema.