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Gleichförmige Kreisbewegung (Zentripetalbeschleunigung)

Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Die Bewegung des Mondes um die Erde, eine kreisende elektrische Ladung im Magnetfeld oder eine Looping-Achterbahn. Das sind alles nahezu gleichförmige Kreisbewegungen. Lass uns diese einfachste Form der Kreisbewegung etwas näher kennenlernen.

Betrachte einen Körper, der die Masse \(m\) hat und sich im Kreis bewegt. Wir sagen: Der Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn. Die Kreisbahn hat den Radius \(r\). Das ist der Abstand des Körpers vom Mittelpunkt der Kreisbahn.

Betrachten wir den Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_1\). Dieser befindet sich dann beispielsweise am Punkt \(S_1\) auf der Kreisbahn. Zu einem späteren Zeitpunkt \(t_2\) befindet sich der Körper bei \(S_2\). Die Zeit, die der Körper gebraucht hat, um von \(S_1\) nach \(S_2\) zu kommen, ist die Zeitspanne \( \Delta t ~=~ t_2 - t_1 \).

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Ein Körper zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.

Der Körper hat eine Strecke \(\Delta s\), genannt Bogenlänge, zurückgelegt als er sich von \(S_1\) nach \(S_2\) bewegt hat.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}\) ist zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) pro Zeit \(\Delta t\): 1 \[ \bar{v} ~=~ \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

Wenn wir \(\Delta t\) unendlich klein wählen (wir notieren eine unendlich kleine Zeitspanne als \(\text{d}t\)), dann wird die zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) auch unendlich klein: \(\text{d}s\)). Die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}\) ist dann auch die Momentangeschwindigkeit \(v\): 2 \[ v ~=~ \frac{\text{d}s}{\text{d}t} \] Die Momentangeschwindigkeit \(v\) ist die Ableitung des Ortes \(s\) nach der Zeit \(t\). Gl. 2 ist nur der Betrag der Geschwindigkeit. Wir können dem Betrag noch eine Richtung zuordnen und so die Geschwindigkeit \(v\) in eine Vektorgröße \(\boldsymbol{v}\) verwandeln. Wir stellen Vektoren in fett dar, um den Vektor \(\boldsymbol{v}\) von seinem Betrag \(v\) zu unterscheiden.

Der Geschwindigkeitsvektor berührt quasi die Kreisbahn im Punkt \(S_1\). Wir sagen: Der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}\) verläuft tangential zur Kreisbahn. Wir nennen diese tangentiale Momentangeschwindigkeit auch Bahngeschwindigkeit.

Wir können also an jedem Punkt der Kreisbahn dem Körper eine Bahngeschwindigkeit zuordnen. Im Punkt \(S_1\) hat der Körper die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_1\) und am Ort \(S_2\) ist die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_2\).

Eine gleichförmige Kreisbewegung zeichnet sich dadurch aus, dass der Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit an jedem Punkt konstant ist: 3 \[ v ~=~ v_1 ~=~ v_2 \]

Die Richtung der Geschwindigkeit ist an jedem Punkt der Kreisbahn unterschiedlich. Am Punkt \(S_1\) zeigt die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_1\) in eine andere Richtung als die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_2\) im Punkt \(S_2\). Auch, wenn sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit nicht verändert, wenn sich der Körper bewegt, so ändert die Richtung und damit der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}_1\) zu \(\boldsymbol{v}_2\). Die Kreisbahn ist ja gekrümmt.

Zwei rechtwinklige Dreiecke (grün und blau). \(\boldsymbol{v}_2\) wurde dafür parallelverschoben.

Die Änderung \(\Delta \boldsymbol{v} \) des Geschwindigkeitsvektors ist: 4 \[ \Delta \boldsymbol{v} ~=~ \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1 \]

Die durchschnittliche Beschleunigung \( \boldsymbol{a} \) ist definiert als Änderung \(\Delta \boldsymbol{v}\) pro Zeitspanne \(\Delta t\): 5 \[ \bar{\boldsymbol{a}} ~=~ \frac{\Delta \boldsymbol{v}}{\Delta t} \]

Wenn wir hier in 5 eine unendlich kleine Zeitspanne \(\text{d} t\) betrachten, so wird die Geschwindigkeitsänderung \(\text{d} \boldsymbol{v}\) auch unendlich klein. Die durchschnittliche Beschleunigung wird zur Momentanbeschleunigung \(\boldsymbol{a}\) (exakte Beschleunigung an einem Punkt der Kreisbahn). Sie entspricht der Ableitung der Bahngeschwindigkeit nach der Zeit: 6 \[ \boldsymbol{a} ~=~ \frac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t} \]

Da sich bei einer Kreisbewegung die Geschwindigkeit verändert, erfährt der Körper nach Gl. 6 eine Beschleunigung.

Um es anschaulich zu halten, betrachten wir nicht eine unendlich kleine Zeitspanne, sondern eine endliche, kleine Zeitspanne \(\Delta t\). Wir schauen uns also die Durchschnittsgeschwindigkeit 1 an. Die Zeitspanne wählen wir aber so klein, dass der Körper nur eine kleine Strecke \( \Delta s \) zurücklegt. Denn dann verlaufen \( \boldsymbol{v}_1 \) und \( \boldsymbol{v}_2\) näherungsweise parallel zueinander. Damit steht \( \Delta \boldsymbol{v} \) senkrecht zu den beiden Geschwindigkeitsvektoren.

Wenn \(\Delta \boldsymbol{v}\) senkrecht zu \(\boldsymbol{v}_1\) verläuft, dann zeigt \(\Delta \boldsymbol{v}\) zum Kreismittelpunkt. Es verläuft parallel zum Radius \(r\).

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Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.

Nach 5 bestimmt \(\Delta \boldsymbol{v}\) die Richtung der Beschleunigung \( \boldsymbol{a} \). Folglich zeigt \( \boldsymbol{a} \) auch zum Kreismittelpunkt. Der Beschleunigungsvektor \( \boldsymbol{a} \) steht an jedem Punkt der Kreisbahn senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor \( \boldsymbol{v} \). Lass uns \( \boldsymbol{a} \) mit dem kleinen Index \(\text z\) versehen: \( \boldsymbol{a}_{\text z} \), um anzudeuten, dass es sich um eine Zentripetalbeschleunigung handelt ("zentripetal" = "zum Kreismittelpunkt wirkend"). \( \boldsymbol{a}_{\text z} \) wird manchmal auch Radialbeschleunigung genannt ("radial" = "entlang des Radius").

Die Zentripetalbeschleunigung zeigt bei einer gleichförmigen Kreisbewegung stets zum Kreismittelpunkt hin.

Die Richtung der Zentripetalbeschleunigung haben wir herausgefunden. Jetzt müssen wir noch ihren Betrag \( a_{\text z} \) herausfinden.

Als sich der Körper von \(S_1\) nach \(S_2\) bewegt hat, hat er den Winkel \(\Delta \varphi\) zurückgelegt. \(\Delta \varphi\) ist der Winkel zwischen den Geraden \(C\,S_1\) und \(C\,S_2\) (siehe Illustration 1). Es kann außerdem leicht eingesehen werden, dass der Winkel \(\Delta \theta\) zwischen \( \boldsymbol{v}_1 \) und \( \boldsymbol{v}_2 \) gleich dem Winkel \(\Delta \varphi \) ist: \(\Delta \theta ~=~ \Delta \varphi \) (siehe Illustration 2 bzw. diese Herleitung).

Wir nutzen nun die trigonometrische Beziehung für Sinus aus. Der Sinus eines Winkel ist gleich der Gegenkathete durch Hypotenuse. Aus dem blauen Dreieck (siehe Illustration 2) kannst du ablesen: 7\[ \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{ \Delta v }{v} \]

Aus dem grünen Dreieck kannst du ablesen: 8\[ \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{ \Delta s }{r} \]

Wenn du nur noch 7 und 8 gleichsetzt, eliminierst du dadurch den Winkel: 9 \[ \frac{ \Delta v }{v} ~=~ \frac{ \Delta s }{r} \]

Dividiere beide Seiten in 9 durch \(\Delta t\): 10 \[ \frac{\Delta v}{\Delta t} \, \frac{1}{v} ~=~ \frac{\Delta s}{\Delta t} \, \frac{1}{r} \]

So bringst du die Zentripetalbeschleunigung \(a_{\text z} = \Delta v / \Delta t\) ins Spiel. Und \( \Delta s / \Delta t\) (Strecke pro Zeit) ist die Bahngeschwindigkeit \(v\): 11\[ a_{\text z} \, \frac{1}{v} ~=~ v \, \frac{1}{r} \]

Stelle nur noch 11 nach der Zentripetalbeschleunigung um:

Betrag der Zentripetalbeschleunigung12 \[ a_{\text z} ~=~ \frac{v^2}{r} \]

Zusammenfassend können wir sagen: Wenn sich ein Körper auf einer Kreisbahn mit Radius \(r\), mit einem konstanten Geschwindigkeitsbetrag \(v\) bewegt, dann wird der Körper zum Kreismittelpunkt hin beschleunigt.

Der Körper erfährt eine konstante Zentripetalbeschleunigung \( a_{\text z} \), die mit der größeren Bahngeschwindigkeit \(v\) zunimmt und mit dem Radius \( r \) abnimmt.

Wir können die Geschwindigkeit \(v\) auch mit der Periodendauer \(T\) und der Frequenz \(f\) der Schwingung ausdrücken. Periodendauer \(T\) ist die Dauer einer Umdrehung und Frequenz \(f\) ist die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde. Sie hängen folgendermaßen zusammen:13\[ f ~=~ \frac{1}{T} \]

Ein Kreisumfang beträgt \(2\pi r\). Dieser wird innerhalb der Periodendauer \(T\) zurückgelegt, weil \(T\) ja die Dauer einer Umdrehung ist. Die Geschwindigkeit \(v\) ist dann als Strecke pro Zeit (hier Umfang pro Zeit): 14 \[ v ~=~ \frac{2\pi \, r}{T} ~=~ 2\pi \, r \, f \]

Damit lässt sich die Zentripetalbeschleunigung auch mit der Frequenz \(f\) ausdrücken: 15 \[ a_{\text z} ~=~ 4\pi^2 \, r \, f^2 \]

Oder alternativ etwas kürzer mit der Kreisfrequenz \(\omega = 2\pi \, f \):

Zentripetalbeschleunigung mittels Kreisfrequenz 16\[ a_{\text z} ~=~ \omega^2 \, r \]

Zentripetalkraft

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Zentripetalkraft

Wenn wir noch die Masse \(m\) des Körpers ins Spiel bringen, können wir aus der Beschleunigung eine Kraft erhalten. Nach dem zweiten Newton-Axiom ist Kraft \(F\) gleich Masse \(m\) multipliziert mit der Beschleunigung \(a\): \( F = m \, a \). In unserem Fall multiplizieren wir die Masse des Körpers mit der Zentripetalbeschleunigung \(a_{\text z}\) und erhalten damit die Zentripetalkraft:

Betrag der Zentripetalkraft 17 \[ F_{\text z} ~=~ m \, a_{\text z} ~=~ m \, \frac{v^2}{r} \]

Zentripetalkraft zeigt in die gleiche Richtung wie die Zentripetalbeschleunigung, also stets zum Kreismittelpunkt. Oder anders gesagt: senkrecht zur Bahngeschwindigkeit \(v\).

Die Zentripetalkraft ist die Kraft, die immer auf einen Körper wirkt, der sich auf einer Kreisbahn bewegt.
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Zentripetalkraft steht senkrecht zum Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Mit Gl. 16 lässt sich die Zentripetalkraft 17 auch mittels Kreisfrequenz \(\omega\) ausdrücken:

Zentripetalkraft mittels Kreisfrequenz 18 \[ F_{\text z} ~=~ m \, \omega^2 \, r \]

Damit ein Körper der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) auf einer Kreisbahn mit Radius \(r\) gehalten werden kann, muss auf diesen Körper die Zentripetalkraft von der Größe 17 wirken.

Reicht die zum Kreismittelpunkt wirkende Kraft nicht aus, so vollführt der Körper eine Kreisbewegung mit einem größeren Radius. Zum Beispiel, wenn sich ein elektrisch geladenes Teilchen im Magnetfeld bewegt, erfährt es eine magnetische Kraft, die das Teilchen zu einer Kreisbewegung zwingt. Die magnetische Kraft IST in diesem Fall die Zentripetalkraft, weil sie zum Kreismittelpunkt wirkt und den Körper auf der Kreisbahn hält.

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