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Lorentz-Transformation: Drehung & Lorentz-Boost

Lorentz-Transformation - ist eine Koordinatentransformation1\[ \begin{bmatrix}c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} ~=~ \Lambda \begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]die das Linienelement2\[ \text{d}s^2 ~=~ -(c\,\text{d}t)^2 ~+~ \text{d}x^2 ~+~ \text{d}y^2 ~+~ \text{d}z^2\]invariant (unverändert) lässt. Hierbei ist \( \Lambda \) eine 4x4-Matrix (Lorentz-Matrix), die die Raumzeitkoordinaten \((t, \boldsymbol{r})\) eines Inertialsystems in die Raumzeitkoordinaten \((t', \boldsymbol{r}')\) eines anderen Inertialsystems transformiert.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Lorentz-Transformation als Drehung

Eine Drehung in der Raumzeit bedeutet, dass nur der Orsvektor \(\boldsymbol{r} = (x,y,z)\) im 3d-Raum gedreht wird, ohne die Zeit \(t\) bei der Transformation zu verändern.

Diese Art der Lorentz-Transformation ist auf Inertialsysteme anwendbar, die relativ zueinander in Ruhe sind, das heißt ihre Relativgeschwindigkeit ist Null.

Die Lorentz-Matrix ist von der Form:

3\[ \Lambda ~=~ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \mathcal{R}_{\varphi} \end{bmatrix} \]mit \(\mathcal{R}_{\varphi}\) als Rotationsmatrix, die die Ortskoordinate \(\boldsymbol{r}\) um den Winkel \(\varphi\) dreht.
Beispiel: 2d und 3d-RotationsmatrizenSo sieht eine zweidimensionale Rotationsmatrix aus:4\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix}\cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 3x3-Matrix und sieht folgendermaßen aus:4.1\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

So sieht eine dreidimensionale Rotationsmatrix aus, die den Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) um die \(x\)-Achse dreht:4.2\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 4x4-Matrix und sieht folgendermaßen aus:4.3\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost

Visier mich an!Illustration bekommen
Aus der Sicht des \(S\)-Systems bewegt sich \(S'\)-System mit einer konstanten Geschwindigkeit in die positive \(x\)-Richtung.

Schauen wir uns einen Lorentz-Boost in x-Richtung an. Dazu nehmen wir zwei Inertialsysteme \(S\) und \(S'\), deren Achsen parallel zueinander liegen (d.h. die Koordinatensysteme sind nicht gedreht relativ zueinander). \(x\) und \(x'\)-Achsen sind parallel, \(y\) und \(y'\)-Achsen sind parallel und so weiter.

Das Inertialsystem \(S'\) bewegt sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} = v_{\text x} \, \hat{\boldsymbol{e}}_{\text x} \) in \(x\)-Richtung am Inertialsystem \(S\) vorbei und zwar so, dass zum Zeitpunkt \(t = t' = 0\) die beiden Koordinatensysteme übereinstimmen.

Da sich \(S'\) nur in \(x\)-Richtung bewegt, bleiben alle die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abstände \(\text{d}y = \text{d}y'\) und \(\text{d}z = \text{d}z'\) unverändert. Das heißt: In beiden Inertialsystemen ist der \(y\)- und \(z\)-Abstand zweier Punkte gleich. Foglich sind \(\text{d}y'\) und \(\text{d}z'\) unabhängig vom zeitlichen Abstand \(\text{d}t\) und Abstand \(\text{d}x\):5\[ \text{d}y' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 1\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \]6\[ \text{d}z' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 1\, \text{d}z \]

Die Gleichungen 5 und 6 können wir in die Matrixschreibweise übersetzen:7\[ \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \star & \star & \star & \star \\ \star & \star & \star & \star \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \]

Die Zeitkomponente \(c\,\text{d}t'\) und die Ortskomponente \(\text{d}x'\) haben auch keine Abhängigkeit von den Abständen \(\text{d}y\) und \(\text{d}z\) senkrecht zur Bewegungsrichtung. Sie können aber voneinander abhängen:8\[ c\, \text{d}t' ~=~ A\,(c\,\text{d}t) ~+~ B\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \]9\[ \text{d}x' ~=~ D\,(c\,\text{d}t) ~+~ E\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0\, \text{d}z \]

Damit vervollständigen wir unsere Lorentz-Matrix in 7:10\[ \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} A & B & 0 & 0 \\ D & E & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \]

Die unbekannten Koeffizieten \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\), die uns verraten wie sich die Zeit- und Ortskoordinaten transformieren, müssen noch herausgefunden werden. Dazu nutzen wir die Invarianz des Linienelements 2 aus. Das heißt: Das Linienelement \(\text{d}s'^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t'^2 + \text{d}x'^2 +\text{d}y'^2 + \text{d}z'^2\) im Inertialsystem \(S'\), ausgedrückt mit ungestrichenen Abständen, sieht folgendermaßen aus:11\[ \text{d}s'^2 ~=~ -(A\,c\,\text{d}t + B\text{d}x)^2 + (D\,c\,\text{d}t + E\, \text{d}x)^2 + \text{d}y^2 + \text{d}z^2 \]

Oder etwas in eine passendere Form umgestellt:12\[ \text{d}s'^2 ~=~ -(A^2 - D^2) \, c^2 \, \text{d}t^2 ~+~ (E^2 - B^2) \, \text{d}x^2 ~+~ (2DE - 2AB)\,c\,\text{d}t\,\text{d}x ~+~ \text{d}y^2 ~+~ \text{d}z^2 \]

Gleichung 12 muss nach der Invarianz des Linienelements, gleich dem Linienelement \(\text{d}s^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t^2 + \text{d}x^2 +\text{d}y^2 + \text{d}z^2\) sein. Gleichsetzen und Vergleichen ihrer Koeffizienten ergibt ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten:13\[ -(A^2 ~-~ D^2) ~=~ -1 \]14\[ E^2 ~-~ B^2 ~=~ 1 \]15\[ 2DE ~-~ 2AB ~=~ 0 \]

Durch das Lösen dieses Gleichungssystems findest du heraus, dass \(D = B \) und \(E = A\) ist. Daraus folgt:16\[ A ~=~ \sqrt{1 + B^2} \]

Setzen wir \(A := \gamma \) (uns bekanntere Notation) und drücken \(B\) mit \(\gamma \) aus: \(B := -\beta \, \gamma \):17\[ \gamma ~=~ \sqrt{1 + \beta^2\,\gamma^2} \]

Hierbei ist \(\beta\) eine noch zu bestimmende Konstante. Umstellen nach \(\gamma\) ergibt:18\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^2} } \]

Lorentz-Faktor explodiert, wenn die Relativgeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.

\(\beta\) darf natürlich nicht beliebig sein, denn physikalisch gesehen muss es dimensionslos sein, damit die Einheit stimmt und für den nicht-relativistischen Fall \(v \ll c\) muss \(\beta \) gegen Null gehen. Beide Bedingungen sind durch \( \beta = \frac{v}{c}\) erfüllt:

Lorentz-Faktor19\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} } \]

Die Matrix für den Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung ist damit:

Lorentz-Boost in x-Richtung20\[ \Lambda ~=~ \begin{bmatrix} \gamma & -\beta\,\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\,\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
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