Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Lektionen
  3. #1123

Lorentz-Transformation: Drehung & Lorentz-Boost

Lorentz-Transformation - ist eine Koordinatentransformation1\[ \begin{bmatrix}c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} ~=~ \Lambda \begin{bmatrix}c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]die das Linienelement2\[ \text{d}s^2 ~=~ -(c\,\text{d}t)^2 ~+~ \text{d}x^2 ~+~ \text{d}y^2 ~+~ \text{d}z^2\]invariant (unverändert) lässt. Hierbei ist \( \Lambda \) eine 4x4-Matrix (Lorentz-Matrix), die die Raumzeitkoordinaten \((t, \boldsymbol{r})\) eines Inertialsystems in die Raumzeitkoordinaten \((t', \boldsymbol{r}')\) eines anderen Inertialsystems transformiert.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Vorkenntnisse

Lorentz-Transformation als Drehung

Eine Drehung in der Raumzeit bedeutet, dass nur der Orsvektor \(\boldsymbol{r} = (x,y,z)\) im 3d-Raum gedreht wird, ohne die Zeit \(t\) bei der Transformation zu verändern.

Diese Art der Lorentz-Transformation ist auf Inertialsysteme anwendbar, die relativ zueinander in Ruhe sind, das heißt ihre Relativgeschwindigkeit ist Null.

Die Lorentz-Matrix ist von der Form:

3\[ \Lambda ~=~ \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \mathcal{R}_{\varphi} \end{bmatrix} \]mit \(\mathcal{R}_{\varphi}\) als Rotationsmatrix, die die Ortskoordinate \(\boldsymbol{r}\) um den Winkel \(\varphi\) dreht.
Beispiel: 2d und 3d-RotationsmatrizenSo sieht eine zweidimensionale Rotationsmatrix aus:4\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix}\cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 3x3-Matrix und sieht folgendermaßen aus:4.1\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

So sieht eine dreidimensionale Rotationsmatrix aus, die den Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) um die \(x\)-Achse dreht:4.2\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Die Lorentz-Matrix ist damit eine 4x4-Matrix und sieht folgendermaßen aus:4.3\[ \mathcal{R}_{\varphi} ~=~ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \]

Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost

Visier mich an!Illustration bekommen
Aus der Sicht des \(S\)-Systems bewegt sich \(S'\)-System mit einer konstanten Geschwindigkeit in die positive \(x\)-Richtung.

Schauen wir uns einen Lorentz-Boost in x-Richtung an. Dazu nehmen wir zwei Inertialsysteme \(S\) und \(S'\), deren Achsen parallel zueinander liegen (d.h. die Koordinatensysteme sind nicht gedreht relativ zueinander). \(x\) und \(x'\)-Achsen sind parallel, \(y\) und \(y'\)-Achsen sind parallel und so weiter.

Das Inertialsystem \(S'\) bewegt sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} = v_{\text x} \, \hat{\boldsymbol{e}}_{\text x} \) in \(x\)-Richtung am Inertialsystem \(S\) vorbei und zwar so, dass zum Zeitpunkt \(t = t' = 0\) die beiden Koordinatensysteme übereinstimmen.

Da sich \(S'\) nur in \(x\)-Richtung bewegt, bleiben alle die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abstände \(\text{d}y = \text{d}y'\) und \(\text{d}z = \text{d}z'\) unverändert. Das heißt: In beiden Inertialsystemen ist der \(y\)- und \(z\)-Abstand zweier Punkte gleich. Foglich sind \(\text{d}y'\) und \(\text{d}z'\) unabhängig vom zeitlichen Abstand \(\text{d}t\) und Abstand \(\text{d}x\):5\[ \text{d}y' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 1\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \]6\[ \text{d}z' ~=~ 0\,(c\,\text{d}t) ~+~ 0\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 1\, \text{d}z \]

Die Gleichungen 5 und 6 können wir in die Matrixschreibweise übersetzen:7\[ \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} \star & \star & \star & \star \\ \star & \star & \star & \star \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \]

Die Zeitkomponente \(c\,\text{d}t'\) und die Ortskomponente \(\text{d}x'\) haben auch keine Abhängigkeit von den Abständen \(\text{d}y\) und \(\text{d}z\) senkrecht zur Bewegungsrichtung. Sie können aber voneinander abhängen:8\[ c\, \text{d}t' ~=~ A\,(c\,\text{d}t) ~+~ B\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0 \, \text{d}z \]9\[ \text{d}x' ~=~ D\,(c\,\text{d}t) ~+~ E\,\text{d}x ~+~ 0\, \text{d}y ~+~ 0\, \text{d}z \]

Damit vervollständigen wir unsere Lorentz-Matrix in 7:10\[ \begin{bmatrix}c\,\text{d}t' \\ \text{d}x' \\ \text{d}y' \\ \text{d}z' \end{bmatrix} ~=~ \begin{bmatrix} A & B & 0 & 0 \\ D & E & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\,\text{d}t \\ \text{d}x \\ \text{d}y \\ \text{d}z \end{bmatrix} \]

Die unbekannten Koeffizieten \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\), die uns verraten wie sich die Zeit- und Ortskoordinaten transformieren, müssen noch herausgefunden werden. Dazu nutzen wir die Invarianz des Linienelements 2 aus. Das heißt: Das Linienelement \(\text{d}s'^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t'^2 + \text{d}x'^2 +\text{d}y'^2 + \text{d}z'^2\) im Inertialsystem \(S'\), ausgedrückt mit ungestrichenen Abständen, sieht folgendermaßen aus:11\[ \text{d}s'^2 ~=~ -(A\,c\,\text{d}t + B\text{d}x)^2 + (D\,c\,\text{d}t + E\, \text{d}x)^2 + \text{d}y^2 + \text{d}z^2 \]

Oder etwas in eine passendere Form umgestellt:12\[ \text{d}s'^2 ~=~ -(A^2 - D^2) \, c^2 \, \text{d}t^2 ~+~ (E^2 - B^2) \, \text{d}x^2 ~+~ (2DE - 2AB)\,c\,\text{d}t\,\text{d}x ~+~ \text{d}y^2 ~+~ \text{d}z^2 \]

Gleichung 12 muss nach der Invarianz des Linienelements, gleich dem Linienelement \(\text{d}s^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t^2 + \text{d}x^2 +\text{d}y^2 + \text{d}z^2\) sein. Gleichsetzen und Vergleichen ihrer Koeffizienten ergibt ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten:13\[ -(A^2 ~-~ D^2) ~=~ -1 \]14\[ E^2 ~-~ B^2 ~=~ 1 \]15\[ 2DE ~-~ 2AB ~=~ 0 \]

Durch das Lösen dieses Gleichungssystems findest du heraus, dass \(D = B \) und \(E = A\) ist. Daraus folgt:16\[ A ~=~ \sqrt{1 + B^2} \]

Setzen wir \(A := \gamma \) (uns bekanntere Notation) und drücken \(B\) mit \(\gamma \) aus: \(B := -\beta \, \gamma \):17\[ \gamma ~=~ \sqrt{1 + \beta^2\,\gamma^2} \]

Hierbei ist \(\beta\) eine noch zu bestimmende Konstante. Umstellen nach \(\gamma\) ergibt:18\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^2} } \]

Lorentz-Faktor explodiert, wenn die Relativgeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.

\(\beta\) darf natürlich nicht beliebig sein, denn physikalisch gesehen muss es dimensionslos sein, damit die Einheit stimmt und für den nicht-relativistischen Fall \(v \ll c\) muss \(\beta \) gegen Null gehen. Beide Bedingungen sind durch \( \beta = \frac{v}{c}\) erfüllt:

Lorentz-Faktor19\[ \gamma ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} } \]

Die Matrix für den Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung ist damit:

Lorentz-Boost in x-Richtung20\[ \Lambda ~=~ \begin{bmatrix} \gamma & -\beta\,\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\,\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?