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Lorentz-Transformation: Drehung & Lorentz-Boost

Zwei Koordinatensysteme bewegen sich relativ zueinander
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Lorentz-Transformation als Drehung Diese Transformation dreht ein Koordinatensystem im Raum.
  2. Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost Diese (spezielle) Lorentz-Transformation transformiert die Zeit- und Ortskoordinate eines Inertialsystems, dass sich in eine bestimmte Richtung bewegt.

Lorentz-Transformation als Drehung

Eine Drehung in der Raumzeit bedeutet, dass nur der Ortsvektor \(\boldsymbol{r} = (x,y,z)\) im dreidimensionalen Raum gedreht wird, ohne die Zeit \(t\) bei der Transformation zu verändern. Diese Art der Lorentz-Transformation ist auf Inertialsysteme anwendbar, die relativ zueinander in Ruhe sind, das heißt ihre Relativgeschwindigkeit ist Null.

Die Lorentz-Transformation (Matrix \(\Lambda \)) ist von der Form:

Drehung in der 4d-Raumzeit
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Hierbei ist \(\mathcal{R}_{\varphi}\) die Rotationsmatrix, die die Ortskoordinate \(\boldsymbol{r}\) um den Winkel \(\varphi\) dreht.

Beispiel: Drehung in der dreidimensionalen Raumzeit

So sieht eine zweidimensionale Rotationsmatrix \(\mathcal{R}_{\varphi}\) aus:

Drehmatrix im zweidimensionalen Raum
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Die Lorentz-Matrix ist damit eine 3x3-Matrix und sieht folgendermaßen aus:

Lorentzmatrix in der dreidimensionalen Raumzeit
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Beispiel: Drehung in der vierdimensionalen Raumzeit

So sieht eine dreidimensionale Rotationsmatrix \(\mathcal{R}_{\varphi}\) aus, die den Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) um die \(x\)-Achse dreht:

3d-Rotationsmatrix
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Die Lorentz-Matrix ist damit eine 4x4-Matrix und beschreibt eine Drehung in der vierdimensionalen Raumzeit:

Lorentz-Drehmatrix in der 4d-Raumzeit
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Lorentz-Transformation als Lorentz-Boost

Lorentz-Boost ist eine Lorentz-Transformation, die die Raumzeitkoordinaten eines Systems transformiert, ohne eine Drehung auszuführen.

Schauen wir uns einen Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung an. Dazu nehmen wir zwei Inertialsysteme \(S\) und \(S'\), deren Achsen parallel zueinander liegen (das heißt: die Koordinatensysteme sind nicht gedreht relativ zueinander). \(x\) und \(x'\)-Achsen sind parallel, \(y\) und \(y'\)-Achsen sind parallel, genauso wie \(z\) und \(z'\)-Achsen.

Das Inertialsystem \(S'\) bewegt sich mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} = v_{\text x} \, \hat{\boldsymbol{e}}_{\text x} \) in \(x\)-Richtung am Inertialsystem \(S\) vorbei und zwar so, dass zum Zeitpunkt \(t = t' = 0\) die beiden Koordinatensysteme übereinanderliegen.

Zwei Inertialsysteme bewegen sich relativ zueinander
Aus der Sicht des \(S\)-Systems bewegt sich \(S'\)-System mit einer konstanten Geschwindigkeit in die positive \(x\)-Richtung.

Da sich \(S'\) nur in \(x\)-Richtung bewegt, bleiben alle die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abstände \(\text{d}y = \text{d}y'\) und \(\text{d}z = \text{d}z'\) unverändert. Das heißt: In beiden Inertialsystemen ist der \(y\)- und \(z\)-Abstand zweier Punkte gleich. Foglich sind \(\text{d}y'\) und \(\text{d}z'\) unabhängig vom zeitlichen Abstand \(\text{d}t\) und Abstand \(\text{d}x\):

Gleichung für infinitesimalen Abstand dy
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Gleichung für infinitesimalen Abstand dz
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Die Gleichungen 5 und 6 können wir in die Matrixschreibweise übersetzen:

Raumzeitkoordinaten zweier Systeme miteinander verknüpft 1
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Die Zeitkomponente \(c\,\text{d}t'\) und die Ortskomponente \(\text{d}x'\) haben auch keine Abhängigkeit von den Abständen \(\text{d}y\) und \(\text{d}z\) senkrecht zur Bewegungsrichtung. Sie können aber voneinander abhängen:

Gleichung für eine infinitesimale Zeitkomponente
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Gleichung für ein infinitesimales dx-Element
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Damit vervollständigen wir unsere Lorentz-Matrix in Gl. 7:

Vierervektor des einen Systems ist Lorentz-Matrix angewendet auf Vierervektor eines anderen Systems
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Die Koeffizienten \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\), die uns verraten wie sich die Zeit- und Ortskoordinaten transformieren, müssen noch herausgefunden werden. Dazu nutzen wir die Invarianz des Linienelements 2 aus. Das Linienelement \(\text{d}s'^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t'^2 + \text{d}x'^2 +\text{d}y'^2 + \text{d}z'^2\) im Inertialsystem \(S'\), ausgedrückt mit Abständen des Systems \(S\), sieht folgendermaßen aus:

Linienelement mit unbekannten Koeffizienten
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Stellen wir Gl. 11 in eine passendere Form um:

Linienelement mit unbekannten Koeffizienten umgeformt
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Gleichung 12 muss nach der Invarianz des Linienelements, gleich dem Linienelement \(\text{d}s^2 ~=~ -c^2\,\text{d}t^2 + \text{d}x^2 +\text{d}y^2 + \text{d}z^2\) sein. Gleichsetzen und Vergleichen ihrer Koeffizienten ergibt folgendes lineares Gleichungssystem mit vier Unbekannten:

Gleichungssystem mit vier unbekannten Koeffizienten der Lorentz-Matrix
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Durch das Lösen dieses Gleichungssystems findest du heraus, dass \(D = B \) und \(E = A\) ist. Aus der ersten Gleichung des LGS folgt:

A ist gleich Wurzel aus 1 Plus B zum Quadrat
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Setzen wir \(A := \gamma \) (übliche Notation) und drücken \(B\) mit \(\gamma \) aus: \(B := -\beta \, \gamma \):

Gamma-Faktor umgestellt
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Hierbei ist \(\beta\) eine noch zu bestimmende Konstante. Umstellen nach \(\gamma\) ergibt:

Formel für Gamma-Faktor mit Beta
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Die Konstante \(\beta\) darf natürlich nicht beliebig sein, denn physikalisch gesehen muss es dimensionslos sein, damit die Einheit stimmt. Außerdem muss für den nicht-relativistischen Fall (d.h. \(v \ll c\)) die Konstante \(\beta \) gegen Null gehen. Beide Bedingungen sind durch \( \beta = \frac{v}{c}\) erfüllt:

Lorentzfaktor-Geschwindigkeit-Diagramm
Lorentz-Faktor explodiert, wenn die Relativgeschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht.
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Die Matrix in Gl. 10 für den Lorentz-Boost in \(x\)-Richtung ist damit gegeben durch:

Lorentz-Boost in x-Richtung
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Lorentz-Boosts in \(y\)- und \(z\)-Richtung lassen sich analog herleiten.

Die Lorentz-Drehungen und Lorentz-Boosts können natürlich kombiniert werden, indem die entsprechenden Matrizen auf die Raumzeitkoordinaten (dargestellt als Vierervektor) eines Systems hintereinander angewendet werden.