Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Lektionen
  3. #1126

Bra-Ket-Notation

Bra-Ket-Notation - (manchmal: Dirac-Notation genannt) ist eine Notation aus der Quantenmechanik, mit der die Wellenfunktion als ein Vektor des Hilbertraums aufgefasst wird.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Wellenfunktion als Vektor im Hilbertraum

Betrachte irgendeine eindimensionale Wellenfunktion \( \mathit{\Psi}(x)\), die ein quantenmechanisches Teilchen beschreibt. Der Wert der Wellenfunktion, beispielsweise am Ort \(x_1\) ist \( \mathit{\Psi}(x_1) \), am Ort \(x_2\) ist der Funktionswert \( \mathit{\Psi}(x_2) \), am Ort \(x_3\) ist er \( \mathit{\Psi}(x_3) \) und so weiter. Du kannst auf diese Weise, anschaulich gesagt, jedem \(x\)-Wert einen Funktionswert zuweisen. Wir können dann die ganzen Funktionswerte als eine Liste von Werten darstellen. Diese Liste von Werten können wir als einen Spaltenvektor \( \mathit{\Psi}\) auffassen, der in einem abstrakten Raum lebt. Der Vektor hat dann die Komponenten:1\[ \begin{bmatrix} \mathit{\Psi}(x_1) \\ \mathit{\Psi}(x_2) \\ \mathit{\Psi}(x_3) \\ . \\ . \\ . \end{bmatrix} \]

Dieser Vektor wird von den Koordinaten \( \mathit{\Psi}(x_1) \), \( \mathit{\Psi}(x_2) \), \( \mathit{\Psi}(x_3) \) aufgespannt.

Theoretisch gibt es natürlich unendlich viele \(x\)-Werte, die einen Funktionswert annehmen, deshalb gibt es auch unendlich viele dazugehörige Funktionswerte \( \mathit{\Psi}(x) \). Wenn es unendlich viele Funktionswerte \( \mathit{\Psi}(x) \) gibt, ist der Raum, in dem der Vektor \( \mathit{\Psi}\) lebt, unendlich-dimensional. (Denk dran, dass das kein unendlichdimensionaler Ortsraum ist, sondern ein abstrakter Raum.) Dieser abstrakte Raum, in dem quantenmechanische Wellenfunktionen leben, heißt Hilbertraum. Im Allgemeinen ist das ein unendlich-dimensionaler Vektorraum. Er kann aber auch endlich-dimensional sein.

Wenn du die Wellenfunktion beispielsweise für numerische Berechnungen mit dem Computer, durch endlich viele Funktionswerte annäherst (anders geht es ja nicht), wird der \( \mathit{\Psi}\)-Vektor 1 endlich viele Komponenten haben:2\[ \begin{bmatrix} \mathit{\Psi}(x_1) \\ \mathit{\Psi}(x_2) \\ \mathit{\Psi}(x_3) \\ . \\ . \\ . \\ \mathit{\Psi}(x_n) \end{bmatrix} \]

Ein \( \mathit{\Psi}\)-Vektor, wie 2, mit \(n\) Komponenten, lebt in einem \(n\) dimensionalen Hilbertraum. Es ist klar, dass, wenn du ein größeres \(n\) wählst, werden die Funktionswerte \( \mathit{\Psi}(x_1) \), \( \mathit{\Psi}(x_2) \) und so weiter, dichter beieinander liegen. Auf diese Weise wird die Repräsentation der Wellenfunktion als Vektor genauer.

(Näherungsweise) Wellenfunktion wird als Vektor aufgefasst.

Wenn wir zur Veranschaulichung die Wellenfunktion nur durch drei Komponenten \( \mathit{\Psi}(x_1) \), \( \mathit{\Psi}(x_2) \) und \( \mathit{\Psi}(x_3) \) annähern, ist der entsprechende Vektorraum dreidimensional. Das heißt, wir können diesen sogar veranschaulichen (siehe Ilustration 1). Sobald wir noch einen zusätzlichen Funktionswert \( \mathit{\Psi}(x_4) \) dazu nehmen, wird der Raum vierdimensional und nicht mehr anschaulich. Das Prinzip, wie eine Funktion als Vektor aufgefasst werden kann, ist hoffentlich nun klar. Im Fall der Wellenfunktion bezeichnen wir den Vektor 2 als Zustandsvektor.

Bra- und Ket-Vektoren

Wir können also den Teilchenszustand auf zwei Weisen repräsentieren. Als

  • Wellenfunktion
  • Zustandsvektor

Damit wir die beiden Repräsentationen des Zustands voneinander unterscheiden können, notieren wir den Spaltenvektor 1 kurz folgendermaßen:

Ket-Vektor3\[ |\mathit{\Psi}\rangle ~=~ \begin{bmatrix} \mathit{\Psi}(x_1) \\ \mathit{\Psi}(x_2) \\ \mathit{\Psi}(x_3) \\ . \\ . \\ . \end{bmatrix} \]

Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}(x)\) dargestellt als Spaltenvektor wird Ket-Vektor \(|\mathit{\Psi}\rangle\) genannt. Dabei ist es egal, was du zwischen \( | ~~ \rangle \) schreibst, du hättest beispielsweise genauso \(|\mathit{\Psi}(x)\rangle\) schreiben können. Hauptsache es ist klar, welche Wellenfunktion (welchen Zustand) der Ket-Vektor repräsentiert.

Wenn du also die Notation \(|\mathit{\Psi}\rangle\) siehst, dann weißt du, dass damit die Vektordarstellung des Teilchenzustands gemeint ist. Wenn du dagegen \(\mathit{\Psi}\) siehst, dann weißt du, dass damit die Darstellung des Teilchenzustands als Wellenfunktion gemeint ist.

Der zum Ket-Vektor adjungierte Vektor \(|\mathit{\Psi}\rangle^\dagger\) wird Bra-Vektor genannt (\(\dagger\) wird 'degga' ausgesprochen). Wir notieren den Bra-Vektor etwas anders: \(|\mathit{\Psi}\rangle^\dagger ~:=~ \langle\mathit{\Psi}|\).

Um den zum Ket-Vektor \( |\mathit{\Psi}\rangle \) adjungierten Bra-Vektor \( \langle\mathit{\Psi}| \) zu erhalten, musst du zwei Dinge tun:

  • Den Ket-Vektor 3 transponieren - dadurch wird er zu einem Zeilenvektor:4\[ \left[ \mathit{\Psi}(x_1),~ \mathit{\Psi}(x_2),~ \mathit{\Psi}(x_3),~~... \right] \]
  • Den Ket-Vektor 3 komplex-konjugieren - dadurch kommen 'Sternchen' an die Komponenten.
Bra-Vektor5\[ \langle\mathit{\Psi}| ~=~ \left[ \mathit{\Psi}(x_1)^*,~ \mathit{\Psi}(x_2)^*,~ \mathit{\Psi}(x_3)^*,~~... \right] \]

Beachte, dass 'adjungieren' manchmal auch 'Hermitesch konjugieren' genannt wird.

Die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) in der Vektordarstellung entspricht dem Ket-Vektor \(|\mathit{\Psi}\rangle\) und der zum Ket-Vektor adjungierte Bra-Vektor \(\langle\mathit{\Psi}|\) entspricht der komplex-konjugierten Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}^*\).

Rechenregeln mit Bra-Ket-Vektoren

Da wir nun die Wellenfunktion \(\mathit{\Psi}\) in einen Vektor \(| \mathit{\Psi} \rangle\) überführt haben, können wir praktisch damit genauso rechnen, wie mit üblichen Vektoren. Der einzige Unterschied ist, dass die Komponenten des Vektors komplex sein können und die Anzahl der Komponenten überabzählbar unendlich. Wegen der zweiten Eigenschaft können wir theoretisch die Ket-Vektoren 3 und Bra-Vektoren 5 nicht derart darstellen, weil es allein schon zwischen den Werten \(x_2\) und \(x_1\) unendlich viele Funktionswerte liegen können. Praktisch, das heißt zu Erklärungszwecken oder zur numerischen Berechnung, ist die Darstellung 3 und 5 vollkommen in Ordnung. Es gibt natürlich auch endliche Hilberträume, die für die Quantenmechanik nützlich sind. Die Spin-Zustände beispielsweise leben in einem zwei-dimensionalen Hilbertraum, d.h. die Bra- und Ket-Vektoren haben nur zwei Komponenten.

Inneres Produkt (Skalarprodukt)

Du kannst das Skalarprodukt (inneres Produkt) der Bra-Ket-Vektoren bilden. Betrachten wir dazu am besten einen \(n\)-dimensionalen Hilbertraum, d.h. die Zustandsvektoren haben \(n\) Komponenten. Außerdem beschränken wir uns nicht auf die Ortswellenfunktion \(\mathit{\Psi}(x)\), sondern bezeichnen die Komponenten etwas allgemeiner mit \(\mathit{\Psi}_i\):6\[ \langle\mathit{\Psi} | \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \left[ \mathit{\Psi}_1^*,~ \mathit{\Psi}_2^*,~...~, \mathit{\Psi}_n^* \right] ~ \begin{bmatrix} \mathit{\Psi}_1 \\ \mathit{\Psi}_2 \\ . \\ . \\ \mathit{\Psi}_n \end{bmatrix} \]

Beachte, dass wir das Skalarprodukt der Zustandsvektoren in der Quantenmechanik etwas kompakter als \(\langle\mathit{\Psi} | \mathit{\Psi} \rangle\) statt \( \langle\mathit{\Psi} | ~\cdot~ | \mathit{\Psi} \rangle \) schreiben. Du kannst nun wie bei der üblichen Matrixmultiplikation die Vektoren in 6 ausmultiplizieren:7\[ \langle\mathit{\Psi} | \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \mathit{\Psi}_1^* \, \mathit{\Psi}_1 ~+~ \mathit{\Psi}_2^* \, \mathit{\Psi}_2 ~+~ ... ~+~ \mathit{\Psi}_n^* \, \mathit{\Psi}_n \]

Du kannst 7 noch kürzer mit einem Summenzeichen schreiben (wenn die Dimension des Hilbertraums überabzählbar unendlich ist, dann ist die Summe natürlich nur eine Näherung):8\[ \langle\mathit{\Psi} | \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, \mathit{\Psi}_i^* \, \mathit{\Psi}_i \]Hierbei ist \(n\) die Dimension des Hilbertraums, also die Anzahl der Komponenten des Vektors.

Skalieren wir das Skalarprodukt 8 mit \(\Delta x\) und lassen \(\Delta x\) gegen Null gehen, dann verwandelt sich die diskrete Summation 8 in ein Integral (kontinuierliche Summe), in diesem Fall über \(x\):9\[ \langle\mathit{\Psi} | \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \int \mathit{\Psi}^*\mathit{\Psi} \, \text{d}x \]

Gl. 9 gilt nun für unendlich-dimensionale Hilberträume!

Das Integral 9 wird manchmal Überlappungsintegral genannt, weil es wie das Skalarprodukt angibt, wie stark sich die beiden Zustände \( \mathit{\Psi}^* \) und \(\mathit{\Psi}\) 'überlappen'.

Natürlich kann der Bra-Vektor auch ein komplett anderer Zustand sein:10\[ \langle\mathit{\Phi} | \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \int \mathit{\Phi}^*\mathit{\Psi} \, \text{d}x \]

Das innere Produkt \(\langle\mathit{\Phi} | \mathit{\Psi} \rangle\) ist eine Zahl, die misst, wie stark sich \(\mathit{\Phi}\) und \(\mathit{\Psi} \) überlappen.

Sind die beiden Zustände normiert und orthogonal zueinander (orthonormiert), dann ergibt das Skalarprodukt 0. Und das Skalarprodukt zweier gleicher, orthonormierter Zustände ergibt 1. Diese Eigenschaft kann in einer Gleichung zusammengefasst werden, wenn wir die beiden Zustände mit einem Index versehen: \( \mathit{\Psi}_i \) und \( \mathit{\Psi}_j \): 11\[ \langle\mathit{\Psi}_i | \mathit{\Psi}_j \rangle ~=~ \delta_{ij} \] Hierbei ist \(\delta_{ij}\) das Kronecker-Delta, das 1 ergibt, wenn \( i = j \) und 0, wenn \(i \neq j\).

Tensorprodukt (Dichte-Matrix)

Wenn wir die Reihenfolge von Bra- und Ket-Vektoren vertauschen, ist das Ergebnis kein Skalarprodukt, sondern ein Tensorprodukt. Das Tensorprodukt \(|\mathit{\Phi} \rangle ~\otimes~ \langle\mathit{\Psi} |\) schreiben wir also kurz als \(|\mathit{\Phi} \rangle \langle\mathit{\Psi} |\), weil aus der Bra-Ket-Notation klar ist, dass Ket- und Bra-Vektoren vertauscht wurden. Das Ergebnis ist eine Matrix, eine sogenannte Dichte-Matrix (Projektionsmatrix):12\[ |\mathit{\Phi} \rangle \langle\mathit{\Psi} | ~=~ \begin{bmatrix} \mathit{\Phi}_1 \, \mathit{\Psi}^*_1 & \mathit{\Phi}_1 \, \mathit{\Psi}^*_2 & ... \\ \mathit{\Phi}_2 \, \mathit{\Psi}^*_1 & \mathit{\Phi}_2 \, \mathit{\Psi}^*_2 & ... \\ ... & ... & \mathit{\Phi}_n \, \mathit{\Psi}^*_n \end{bmatrix} \]

Wird die Dichte-Matrix \(|\mathit{\Psi} \rangle \langle\mathit{\Psi} | \) mit orthonormiertem \( \mathit{\Psi} \) auf einen Zustand \( |\mathit{\Phi} \rangle \) angewendet: \(|\mathit{\Psi} \rangle \langle\mathit{\Psi} | \, \mathit{\Phi} \rangle \), so ist das Ergebnis ein neuer Zustandsvektor, der die Projektion von \( |\mathit{\Phi} \rangle \) auf \( |\mathit{\Psi} \rangle \) angibt.

Eine wichtige Anwendung der Projektionsmatrix ist das sogenannte Einschieben der Eins. Die Summe der Projektionsmatrizen der orthonormierten Basiszustände \( |\mathit{\Psi}_i \rangle \) ergibt die Einheitsmatrix:13\[ \mathbb{I} ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, |\mathit{\Psi}_i \rangle \langle\mathit{\Psi}_i | \]

Diese Einheitsmatrix können wir auf einen beliebigen Zustand \( |\mathit{\Phi} \rangle \) anwenden, um diesen Zustand in der Basis \(\mathit{\Psi}_i \) darzustellen:14\[ |\mathit{\Phi} \rangle ~=~ \mathbb{I} \, |\mathit{\Phi} \rangle ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, |\mathit{\Psi}_i \rangle \langle\mathit{\Psi}_i | \mathit{\Phi} \rangle \]

Hierbei pickt das Skalarprodukt \(\langle\mathit{\Psi}_i | \mathit{\Phi} \rangle\) die \(i\)-te Komponente \(a_i\) des Zustands \(| \mathit{\Phi} \rangle\) heraus:15\[ |\mathit{\Phi} \rangle ~=~ \underset{i=1}{\overset{n}{\boxed{+}}} \, a_i \, |\mathit{\Psi}_i \rangle \]

Für unendlich-dimensionale Hilberträume gibt es unendlich viele Basiszustände, d.h. das Summenzeichen bei der Einheitsmatrix 13 muss durch ein Integral ersetzt werden:16\[ \mathbb{I} ~=~ \int \, \text{d}x |\mathit{\Psi} \rangle \langle\mathit{\Psi} | \]

Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Diese Lektion darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?