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Drehimpuls in der Quantenmechanik: Kommutatoren und Eigenwerte

Drehimpuls-Leiteroperatoren: Aufsteige- und Absteigeoperator
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Drehimpuls-Kommutatoren Hier lernst du, wie die Kommutatoren für die drei Komponenten des Drehimpulses und L² hergeleitet werden.
  2. Drehimpuls-Leiteroperatoren Hier lernst du den Aufsteige- und Absteigeoperator kennen und wie damit die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators algebraisch herausgefunden werden können.
  3. Eigenwerte von Lz und L² Hier leiten wir mithilfe der Aufsteige- und Absteigeoperatoren die Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren her und begegnen dabei zwei Quantenzahlen, die den Drehimpuls beschreiben.

Der Drehimpuls (genauer: Bahndrehimpuls) \( \boldsymbol{L} \) eines klassischen Teilchens ist gegeben durch das Kreuzprodukt zwischen dem Abstand \( \boldsymbol{r} \) des Teilchens von der Drehachse und dem Teilchenimpuls \( \boldsymbol{p} \):

Klassischer Drehimpuls
Anker zu dieser Formel

Der Drehimpuls steht also wegen des Kreuzprodukts senkrecht auf \( \boldsymbol{r} \) und \( \boldsymbol{p} \) und hat folgende drei Komponenten, jeweils in eine Raumrichtung:

  1. Drehimpulskomponente in \(x\)-Richtung:

    Klassischer Drehimpuls in x-Richtung
    Anker zu dieser Formel
  2. Drehimpulskomponente in \(y\)-Richtung:

    Klassischer Drehimpuls in y-Richtung
    Anker zu dieser Formel
  3. Drehimpulskomponente in \(z\)-Richtung:

    Klassischer Drehimpuls in z-Richtung
    Anker zu dieser Formel

Drehimpuls-Kommutatoren

Anhand eines Kommutators \([A,\, B]\) können wir direkt feststellen, ob die Größen (Observablen) \(A\) und \(B\) in der Quantenmechanik gleichzeitig, prinzipiell mit beliebiger Genauigkeit messbar sind. Verschwindet der Kommutator zweier Observablen nicht, so gilt für sie die Unbestimmtheitsrelation.

In der klassischen Mechanik sind Orte \(x,y,z\) sowie Impulse \(p_{\text x}, p_{\text y}, p_{\text z}\) aber auch Drehimpulskomponenten \( L_{\text x}, L_{\text y}, L_{\text z} \) skalare Größen, also 'gewöhnliche' Zahlen, die keinen Unterschied ergeben, ob mensch so herum \( z \, p_{\text z} \) oder so herum \( p_{\text z} \, z \) multipliziert. Der Kommutator von zwei Größen gibt die Abweichung an, wenn zwei Größen vertauscht multipliziert werden. Es ist offensichtlich, dass gewöhnliche Zahlen kommutativ sind. Deshalb verschwinden alle Kommmutatoren mit klassischen Orten, Impulsen und Drehimpulsen. Physikalisch bedeutet es, dass wir die klassischen Drehimpulskomponenten prinipiell beliebig genau in einem Experiment messen könnten. Die Unbestimmtheitsrelation gilt für sie nicht.

In der Quantenmechanik dagegen sieht es ganz anders aus, denn hier sind wir an Operatoren interessiert, mit deren Hilfe (und mit Hilfe der Wellenfunktion) wir die Messergebnisse vorhersagen können. Lass uns deshalb die Drehimpulskomponenten 2 , 3 und 4 als Operatoren auffassen.

Dazu ersetzen wir die Impulse, die in den Drehimpuls-Komponenten 2 , 3 und 4 vorkommen, mit den folgenden axiomatischen Zuordnungen:

  • Impulskomponente \( p_{\text x} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text x} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_x \)

  • Impulskomponente \( p_{\text y} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text y} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_y \)

  • Impulskomponente \( p_{\text z} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text z} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_z \)

Hierbei ist \( \mathrm{i} \) die imaginäre Einheit, \( \hbar \) reduzierte Planck-Konstante und \(\partial_x\) der Ableitungsoperator, der angewendet auf eine Funktion, die Ableitung dieser Funktion nach \(x\) ergibt. Eine alleinstehende Ableitung macht natürlich wenig Sinn. Deshalb entfaltet ein Operator erst dann seine Wirkung, wenn er auf eine Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist eine neue, durch den Operator modifizierte Funktion.

Was ist mit den Orten \(x\), \(y\) und \(z\)? Müssen sie nicht auch irgendwie ersetzt werden? Die Orte sind natürlich jetzt auch Operatoren \(\hat{x}\), \(\hat y\) und \(\hat z\). Da wir aber hier im sogenannten Ortsraum arbeiten, bleiben die Orte unmodifiziert. Der Operator \(\hat{x}\), angewendet auf eine Funktion \(f\) ergibt einfach ein Vielfaches der Funktion: \( \hat{x}\,f ~=~ x \, f\). Im Impulsraum wäre es übrigens andersherum. Hier müssen die Orte ersetzt werden, während die Impulse unverändert bleiben.

Da wir nun Orte, Impulse und Drehimpulse als Operatoren auffassen, muss du jetzt aufpassen. Du kannst nicht mit Operatoren so leichtsinnig wie mit Zahlen hantieren. Deshalb ist es manchmal sinnvoll auf die Impulse \( p_{\text x} \), \( p_{\text y} \) und \( p_{\text z} \) Hütchen aufzusetzen, um sie als Operatoren zu markieren: \( \hat{p}_{\text x} \), \( \hat{p}_{\text y} \) und \( \hat{p}_{\text z} \). Analog müsstest du auch Orte und Drehimpulse mit Hütchen versehen. Da sie die Gleichungen etwas 'überfüllter' wirken lassen, lasse ich die Hütchen weg. Wir haben es ja vereinbart, dass wir jetzt zu den Operatoren umgestiegen sind.

Eine nützliche Eigenschaft des Kommutators ist, dass dieser distributiv ist:

Kommutator ist distributiv
Anker zu dieser Formel

Diese Eigenschaft können wir ausnutzen, um den Kommutator von zwei Komponenten des Drehimpulses für das weitere Vorgehen nützlich aufzuschreiben:

  • Kommutator von \( L_{\text x} \) und \( L_{\text y} \):

    Kommutator von Lx und Ly
    Anker zu dieser Formel
  • Kommutator von \( L_{\text y} \) und \( L_{\text z} \):

    Kommutator von Lx und Lz
    Anker zu dieser Formel
  • Kommutator von \( L_{\text y} \) und \( L_{\text z} \):

    Kommutator von Ly und Lz
    Anker zu dieser Formel

Die Vertauschung der Komponenten, zum Beispiel \( [ L_{\text x}, \, L_{\text y} ]\) zu \( [ L_{\text y}, \, L_{\text x} ] \) ergibt lediglich ein Minuszeichen. Das ist die antisymmetrische Eigenschaft des Kommutators.

Lass uns die Kommutatoren etwas weiter aufdröseln. Dazu benutzen wir eine weitere Eigenschaft des Kommutators, nämlich die Gültigkeit der Produktregel:

Kommutator-Produktregel
Anker zu dieser Formel

Schauen wir uns zuerst den ersten Drehimpuls-Kommutator 6 an. Wenden wir auf jeden Summanden zweimal die Produktregel 9 an. Zuerst auf den ersten Summanden von 6:

Produktregel auf Kommutator von Lx und Ly anwenden
Anker zu dieser Formel

Der erste Term in 10 verschwindet, da \( [ y, \, z ] = 0 \) ist. Auch der dritte und vierte Term verschwinden, da \( [ p_{\text z}, \, p_{\text x} ] = 0 \) und \([ y, \, p_{\text x} ] = 0 \) sind. Das kannst du leicht nachprüfen, z.B. für den Term \( [ p_{\text z}, \, p_{\text x} ] ~= -\hbar^2 \partial_{\text z} \partial_{\text x} + \hbar^2 \partial_{\text x} \partial_{\text z} = 0 \), denn es spielt keine Rolle, ob du eine Funktion zuerst partiell nach \(x\) oder nach \(z\) ableitest. Die partiellen Ableitungen können so vertauscht werden, dass die beiden Terme sich genau wegheben.

Der Term, der in 10 nicht verschwindet, enthält den Kommutator von dem Ort \(z\) und Impuls \( p_{\text z} \). Diesen Kommutator kennst du hoffentlich bereits. Wenn nicht, dann kannst du ihn leicht ausrechnen, indem du ihn auf irgendeine Testfunktion \(f\) anwendest:

Kommutator von Ort z und Impuls pz
Anker zu dieser Formel

Also muss der Kommutator \( [ p_{\text z}, \, z ] = -\mathrm{i} \, \hbar \) sein. Der Kommutator verschwindet natürlich auch für andere Orte \(y \) und \(z\) nicht, wenn der Impuls in die gleiche Richtung zeigt: \( [ p_{\text x}, \, x ] = -\mathrm{i} \, \hbar \) und \( [ p_{\text y}, \, y ] = -\mathrm{i} \, \hbar \).

Gehen wir zum nächsten Summanden in 6 über. Für den zweiten Summanden dort, gilt:

Kommutator von ypz und xpz verschwindet
Anker zu dieser Formel

Das kannst du sofort sagen, ohne viel rechnen zu müssen, da in diesem Kommutator kein \(z\) vorkommt. Wir wissen nämlich, dass nur Impulse und Orte einen nicht verschwindenden Kommutator ergeben, wenn der Impuls in diese Ortsrichtung zeigt. Das können wir auch direkt auf den dritten Summanden in 6 anwenden. Dieser fällt nämlich ebenfalls weg, die in diesem Kommutator die Impulse nicht entlang von \(z\) zeigen:

Kommutator von z py und x pz verschwindet nicht
Anker zu dieser Formel

Der letzte Summand in 6 verschwindet dagegen nicht, da dort nicht-kommutierende \( z \) und \(p_{\text z}\) auftauchen:

Kommutator von z py und x pz verschwindet
Anker zu dieser Formel

Insgesamt wird der Drehimpuls-Kommutator 6, zusammen mit den nicht-verschwindenden Termen 10 und 14 zu:

Kommutator von Lx und Ly zusammengefasst
Anker zu dieser Formel

Der Ausdruck in der Klammer ist genau die \(L_{\text z} \)-Komponente des Drehimpulses, wie in 4 zu sehen ist. Damit haben wir:

Anker zu dieser Formel

Analog gehst du vor, um die beiden anderen Kommutatoren 7 und 8 herauszufinden. Als Ergebnis bekommst du:

Drehimpuls-Kommutator für Ly und Lz
Anker zu dieser Formel
Drehimpuls-Kommutator für Lz und Lx
Anker zu dieser Formel

Wenn du dir beispielsweise den Kommutator 16 merkst, dann kommst du leicht auf die beiden anderen Kommutatoren und zwar durch zyklisches Vertauschen der Indizes.

Wenn du magst, kannst du die drei Drehimpuls-Kommutatoren 16, 17 und 18 kompakt zusammenfassen. Dazu ersetzen wir die Ortsetikettchen \(x,y,z\) durch drei Indizes \(i, j, k\), welche die Werte 1, 2 und 3 annehmen können. Für zwei beliebige Drehimpuls-Komponenten \(L_i\) und \( L_j\) ist der Kommutator dann:

Drehimpuls-Kommutator für zwei beliebige Komponenten
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \( \varepsilon_{ijk} \) das Levi-Civita-Symbol, das immer \( \varepsilon_{ijk} = 1\) ist, wenn \(ijk\) zyklisch rotiert werden, das heißt, alle Indizes vertauscht werden. Und das Symbol ist \( \varepsilon_{ijk} = -1\) genau dann, wenn nur zwei Indizes vertauscht werden. Das Symbol ist \( \varepsilon_{ijk} = 0\), wenn mindestens zwei Indizes gleich sind. Zum Beispiel ergibt sich dann Folgendes: \( [ L_1, \, L_2 ] ~=~ \mathrm{i}\hbar \, L_3 \) oder \( [ L_2, \, L_1 ] ~=~ -\mathrm{i}\hbar \, L_3 \) oder \( [ L_1, \, L_1 ] ~=~ 0 \) und so weiter.

Mit dem Levi-Civita-Symbol können wir alle möglichen (insgesamt 16) Drehimpuls-Kommutatoren repräsentieren und das in einer einzigen Gleichung! Ist das nicht praktisch?

Anhand der Drehimpuls-Kommutatoren können wir außerdem sagen, dass es keine Funktionen \(Y\) gibt, die gleichzeitig Eigenfunktionen von \( L_{\text z} \) und \( L_{\text y} \) sind. Also es ist nicht möglich, dass Folgendes gilt: \(L_{\text z} \, Y = \lambda \, Y \) UND gleichzeitig \(L_{\text y} \, Y = \kappa \, Y \), für alle Eigenfunktionen \(Y\) von \(L_{\text z}\). Zwei Operatoren, die nicht kommutieren, haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen.

Gemeinsame Eigenfunktionen gibt es zum Beispiel bei \( L_{\text z} \) und dem Quadrat des Drehimpulsoperators \( L^2 = {L_{\text x}}^2 + {L_{\text y}}^2 + {L_{\text z}}^2 \). Das heißt, der Kommutator von \( L^2 \) und \( L_{\text z} \) verschwindet:

Kommutator von L^2 und Lz geschrieben mittels drei Kommutatoren
Anker zu dieser Formel

Produktregel 9 anwenden. Dabei fällt Kommutator \([ {L_{\text z}}^2, \, L_{\text z} ]\) mit gleichen Komponenten weg:

Kommutator von L^2 und Lz mit angewandter Produktregel
Anker zu dieser Formel

Jetzt Drehimpuls-Kommutatoren 16 und 17 einsetzen:

Kommutator von L^2 und Lz mit eingesetzten Drehimpulskommutatoren
Anker zu dieser Formel

Der Kommutator mit \(L^2\) verschwindet übrigens für alle Drehimpuls-Komponenten:

Anker zu dieser Formel

Da der Kommutator von \(L^2\) und einer Drehimpulskomponente \(L_{\text z}\) verschwindet, existieren Eigenfunktionen \(Y\), die gleichzeitig Eigenfunktionen von \(L_{\text z}\) und \(L^2\) sind:

Eigenwertgleichungen für L^2 und Lz
Anker zu dieser Formel

Dabei ist \(\mu\) der Eigenwert von \(L^2\) und \(\lambda\) der Eigenwert von \(L_{\text z}\). Wozu brauchen wir überhaupt \(L^2\)? Nun, dieser Operator wird uns behilflich sein, die Eigenwerte, aber auch die Eigenfunktionen \(Y\) konkret herauszufinden.

Drehimpuls-Leiteroperatoren

Leiteroperator-Methode ist eine mächtige algebraische Methode, mit der du die Eigenwerte \(\lambda\) von \(L_{\text z}\) bestimmen kannst, OHNE Eigenfunktionen \(Y\) kennen zu müssen. Wir definieren die Leiteroperatoren \(L_+\) und \(L_-\) folgendermaßen:

Definition der Drehimpuls-Leiteroperatoren
Anker zu dieser Formel

Als erstes rechnen wir kurz vier nützliche Kommutatoren aus, die wir direkt danach ausnutzen werden:

  • Kommutator von \(L_{\text z}\) und \(L_+\):

    Drehimpuls-Kommutator von Lz und Erzeugungsoperator
    Anker zu dieser Formel
  • Kommutator von \(L_{\text z}\) und \(L_-\):

    Kommutator von Lz und Vernichtungsoperator
    Anker zu dieser Formel
  • Kommutator von \(L^2\) und \(L_+\):

    Kommutator von L^2 und Erzeugungsoperator
    Anker zu dieser Formel

    Alle Kommutatoren, die gleiche Komponenten enthalten, fallen weg:

    Kommutator von L^2 und L+ gekürzt
    Anker zu dieser Formel

    Produktregel anwenden:

    Kommutator von L^2 und L+ mit angewendeter Produktregel
    Anker zu dieser Formel

    Drehimpuls-Kommutatoren einsetzen:

    Kommutator von L^2 und L+ mit eingesetzten Drehimpuls-Kommutatoren
    Anker zu dieser Formel
  • Kommutator von \(L^2\) und \(L_-\):
    Kannst du analog zu 28 ausrechnen.

    Kommutator von L^2 und Vernichtungsoperator verschwindet
    Anker zu dieser Formel

Soweit so gut. Wir wissen, dass \(Y\) eine Eigenfunktion sowohl von \(L^2\) als auch von \(L_{\text z}\) ist. Wenn wir unseren definierten Leiteroperator \(L_+\) auf \(Y\) anwenden, bekommen wir eine neue, modifizierte Funktion: \( (L_+ \, Y) \). Als nächstes können wir uns die Frage stellen, ob \( (L_+ \, Y) \) auch eine Eigenfunktion von \(L^2\) und \(L_{\text z}\) ist. Prüfen wir das mal:

L^2 ist Eigenfunktion von L+Y
Anker zu dieser Formel

Beim ersten Gleichheitszeichen in 33 haben wir \(L_+\) und \(L^2\) vertauscht. Das dürfen wir, denn in 31 haben wir mühselig ausgerechnet, dass deren Kommutator verschwindet. Kommutator zweier Operatoren ist Null? Dann dürfen wir beide Operatoren vertauschen soviel wir wollen. Mit 33 können wir bestätigen, dass \((L_+ \, Y)\) eine Eigenfunktion von \(L^2\) ist. Es kommt nämlich dieselbe Funktion \((L_+ \, Y)\) heraus, skaliert mit dem zugehörigen Eigenwert \(\mu\).

Auch \((L_- \, Y)\) ist eine Eigenfunktion von \(L^2\), wie wir leicht nachprüfen können:

L^2 ist Eigenfunktion von L-Y
Anker zu dieser Formel

Mit den zuvor berechneten Kommutatoren zwischen \(L_{\text z}\) und \(L_{\pm}\), können wir leicht beweisen, dass \(L_+\,Y\) und \(L_-\,Y\) auch Eigenfunktionen von \(L_{\text z}\) sind. Aber Achtung! Hier sind die Kommutatoren, wie wir in 26 und 27 berechnet haben, nicht Null. Wenn wir also beispielsweise \(L_{\text z}\) und \(L_+\) vertauschen, dann müssen wir den dazuhegörigen Kommutator 26 hinzuaddieren, um die Abweichung beim Vertauschen zu kompensieren. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf erhalten wir:

L+Y ist Eigenfunktion von Lz
Anker zu dieser Formel

Hast du eigentlich schon bemerkt, wie nützlich Kommutatoren sind, wenn mensch mit Operatoren arbeitet?

Mit Gl. 35 haben wir gezeigt, dass \((L_+ \, Y)\) eine Eigenfunktion von \(L_{\text z}\) ist, mit einem erhöhten Eigenwert \( \lambda + \hbar\).

Drehimpuls-Aufsteigeoperator (Erzeugungsoperator)

Wird der Operator \(L_+\) auf die \(L_{\text z}\)-Eigenfunktion \(Y\) angewendet: \(L_+\,Y\), so erhöht er den Eigenwert von \(L_{\text z}\) um \(\hbar\).

Drehimpuls-Leiteroperatoren: Aufsteige- und Absteigeoperator
Funktionsweise des Aufsteige- und Absteigeoperators.

Auch eine nochmalige Anwendung von \(L_+\) auf \((L_+ \, Y)\) erhöht den Eigenwert \( \lambda + \hbar\) um weiteres \(\hbar\):

Zweimalige Anwedung des Erzeugungsoperators auf Y
Anker zu dieser Formel

Und so geht es analog weiter. Da \(L_+\) bei jeder weiteren Anwendung auf \(Y\) den Eigenwert von \( L_{\text z} \) um \(+\hbar\) erhöht, bezeichnen wir \(L_+\) als Aufsteigeoperator. Sein Gegenteil bildet der Absteigeoperator \(L_-\).

Drehimpuls-Absteigeoperator (Vernichtungsoperator)

Wird der Operator \(L_-\) auf die \(L_{\text z}\)-Eigenfunktion \(Y\) angewendet: \(L_-\,Y\), so verringert er den Eigenwert von \(L_{\text z}\) um \(\hbar\).

Das können wir schnell mithilfe deren Kommutators 27 nachprüfen:

L-Y ist Eigenfunktion von Lz
Anker zu dieser Formel

Den Aufsteige- und Absteigeoperatoren wirst du nicht nur beim quantenmechanischen Drehimpuls begegnen, sondern auch beispielsweise beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator oder in der Quantenfeldtheorie.

Eigenwerte von Lz und L²

Wenn wir den Aufsteigeoperator \(L_+\) immer wieder auf \(Y\) anwenden, so erhöhen wir damit jedes Mal den Eigenwert \(\lambda\) um \(+\hbar\). Kann der neue Eigenwert beliebig groß werden, wenn wir \(L_+\) unaufhörlich anwenden?

Der Eigenwert repräsentiert in der Quantenmechanik, physikalisch gesehen, einen möglichen Messwert der Drehimpulskomponente in \(z\)-Richtung. Ein abgeschlossenes System, zum Beispiel ein H-Atom sein, hat einen endlichen Drehimpuls \(\langle L \rangle \). Dieser Gesamtdrehimpuls ist erhalten. Der Eigenwert \(\lambda\), der seine \(L_{\text z}\)-Komponente repräsentiert, kann nicht größer werden als der Gesamtdrehimpuls. Es muss also eine 'oberste' Eigenfunktion \( \overline{Y\,} := L_+...L_+ \, Y\) von \(L_{\text z}\) geben, die keine Eigenfunktion von \(L_+\) ist:

Aufsteigeoperator auf oberste Eigenfunktion angewendet ergibt Null
Anker zu dieser Formel

Der Eigenwert \(\lambda\) von \(L_{\text z}\) ist bei Anwendung auf die 'oberste' Eigenfunktion \( \overline{Y\,} \) maximal. Diesen maximalen Eigenwert schreiben wir als ein Vielfaches von \(\hbar\), nämlich als \(\lambda = l\, \hbar\):

Lz angewendet auf die oberste Eigenfunktion
Anker zu dieser Formel

Die Größe \(l\) ist uns nicht bekannt. Wie sie sich genau verhält, müssen wir noch herausfinden.

Und, wenn wir \(L^2\) auf \( \overline{Y\,} \) anwenden, bekommen wir weiterhin den Eigenwert \(\mu\), weil wir in 33 gesehen haben, dass \(L_+\) den Eigenwert von \(L^2\) gar nicht verändert:

L^2 angewendet auf die oberste Eigenfunktion
Anker zu dieser Formel

Lass uns den Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) mit dem maximalen Eigenwert \(l \, \hbar\) von \(L_{\text z}\) ausdrücken. Dazu bestimmen wir zuerst \(L_-\,L_+\):

Produkt des Absteige- und Aufsteigeoperators
Anker zu dieser Formel

Forme 41 nach \(L^2\) um:

L^2 ausgedrückt mit Absteige- und Aufsteigeoperatoren
Anker zu dieser Formel

Wenden wir den umgeformten Operator \(L^2\) auf die 'oberste' Eigenfunktion \(\overline{Y\,}\) an:

Umgeformtes L^2 angewendet auf die oberste Eigenfunktion
Anker zu dieser Formel

Der Term \(L_- \, (L_+ \, \overline{Y\,}) = 0\) verschwindet nach Gl. 38, da \(\overline{Y\,}\) bereits die 'oberste' Eigenfunktion ist. Ein weiteres Anwenden von \(L_+\) eliminiert den Term. Und, was \(L_{\text z} \, \overline{Y\,}\) ergibt, steht in 39. Verarzten wir 45 weiter:

L^2 angewendet auf die oberste Eigenfunktion mit Quantenzahl ausgedrückt
Anker zu dieser Formel

Der Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) ist, ausgedrückt mit \(l\): \(\mu ~=~ l \, (l ~+~ 1) \, \hbar^2\).

Was passiert nun, wenn wir exzessiv den Absteigeoperator \(L_-\) auf \(Y\) anwenden: \(L_- ... L_-\,Y\)? Irgendwann landen oder überqueren wir die Null als möglichen Eigenwert und der Eigenwert wird negativ. Kann der Drehimpuls-Eigenwert \(\lambda\) negativ beliebig groß werden? Er kann aus dem selben Grund nicht negativ beliebig groß werden, wie er nicht positiv beliebig groß werden kann. Der vom Betrag her maximaler, aber negativer Eigenwert der \( L_{\text z} \)-Komponente kann den Gesamtdrehimpuls nicht überschreiten.

Bezeichnen wir mal die 'unterste' Eigenfunktion von \( L_{\text z} \) als \(\underline{Y}\) und den kleinsten Eigenwert als \(\underline{l} \, \hbar \). Der Absteigeoperator \(L_-\) ist keine Eigenfunktion von \(\underline{Y}\):

Absteigeoperator angewendet auf unterste Eigenfunktion ist Null
Anker zu dieser Formel

Und die Eigenwertgleichungen für \(L_{\text z}\) und \(L^2\) sind:

Eigenwertgleichungen von Lz und L^2
Anker zu dieser Formel

Berechnen wir als erstes \(L_+ \, L_-\), analog zu 41. Diesmal sind die Leiteroperatoren aber vertauscht:

Produkt des Aufsteigeoperators mit dem Absteigeoperator
Anker zu dieser Formel

Benutzen wir 47, umgestellt nach \(L^2\), um den Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) mit dem niedrigsten Eigenwert \(\underline{l} \, \hbar\) von \(L_{\text z} \) auszudrücken:

L^2 auf die unterste Eigenfunktion angewendet
Anker zu dieser Formel

Damit ist der Eigenwert \(\mu ~=~ \underline{l} \, (\underline{l} ~-~ 1) \, \hbar^2\). Dieser Eigenwert wird durch Leiteroperatoren nicht verändert, das heißt, der mit niedrigstem Eigenwert \(\underline{l} \, \hbar\) ausgedrückte \(\mu\)-Eigenwert ist immernoch der gleiche Eigenwert, wenn wir diesen mit dem höchsten Eigenwert \(l \, \hbar\) von \(L_{\text z}\) ausdrücken. Als wir \(\mu\) mit dem höchsten Eigenwert in 44 ausgedrückt haben, hatten wir \(\mu ~=~ l \, (l ~+~ 1) \, \hbar^2 \) bekommen. Beide Ausdrücke müssen gleich sein:

Kleinster Eigenwert mit höchstem Eigenwert gleichgesetzt
Anker zu dieser Formel

Hier gibt es zwei Möglichkeiten für \( \underline{l} \). Entweder ist \( \underline{l} ~=~ l ~+~ 1 \) oder \( \underline{l} ~=~ -l \). Die erste Lösung würde bedeuten, dass der niedrigste Eigenwert von \(L_{\text z}\) größer ist als der höchste Eigenwert mit \( l \), was wenig Sinn macht. Die zweite Lösung \( \underline{l} ~=~ -l \) ist dagegen plausibel und deshalb benutzen wir diese Lösung weiter.

Halten wir unsere Ergebnisse zusammen:

  • Der höchste Eigenwert von \(L_{\text z}\) ist: \(l \, \hbar\).

  • Der niedrigste Eigenwert von \(L_{\text z}\) ist: \(-l \, \hbar\).

  • Von einem Eigenwert zum anderen gelangen wir, indem wir den Eigenwert um \(\hbar\) erhöhen oder verringern und dabei zwischen dem höchsten und niedrigstem Eigenwert bleiben.

  • Der Eigenwert von \(L^2\) ist ausgedrückt mit dem höchsten \(L_{\text z}\)-Eigenwert: \( \mu = l \,(l ~+~ 1) \, \hbar^2\).

Die \(L_{\text z}\)-Drehimpulskomponente hat Eigenwerte, die ein Vielfaches von \( \hbar\) sind: \(\lambda = m_l \, \hbar\). Der Wert von \(m_l\) ersteckt sich von \( -l \) bis \( l \):

Wertebereich der Magnetquantenzahl
Anker zu dieser Formel
Drehimpuls - Richtungsquantelung
Quantisierter Bahndrehimpuls: Mögliche Eigenwerte \(m_{l}\,\hbar\) von \(L_{\text z}\) für \(l=2\).

Dabei läuft \(m_l\) in ganzzahligen Schritten (zwei benachbarte Eigenwerte unterscheiden sich ja um \(\hbar\)). Wenn es ingesamt \(N\) Werte zwischen \(-l\) und \(l\) liegen, dann folgt aus \( l ~=~ -l ~+~ N \), dass: \( l = N/2\) ist. Beispielsweise bei \(N=5\) Werten wäre \(l = 2.5\) halbzahlig und bei \( N = 10\) wäre \( l = 5\) ganzzahlig. Die halbzahligen Werte von \(l\) beschreiben die Spinzustände von Quantenteilchen und ganzzahlige Werte von \(l\) beschreiben Bahndrehimpulse von Quantenteilchen:

Wertebereich der Bahndrehimpulsquantenzahl
Anker zu dieser Formel
Drehimpuls-Quantenzahlen
  • Die maximale ganzzahlige Quantenzahl \(l\) wird als Bahndrehimpulsquantenzahl bezeichnet.

  • Die ganzzahlige Quantenzahl \(m_l\) wird als magnetische Quantenzahl bezeichnet.

  • Es liegen \( l+1\) mögliche Drehimpulszustände zwischen \(-l\) und \(l\).

Eigenwertgleichungen für \(L_{\text z}\) und \(L^2\)
Anker zu dieser Formel

Zu jedem Wert von \(m_l\) gehört eine Eigenfunktion \(Y_{l}^{m_l}\). Mithilfe der Leiteroperatoren haben wir Eigenwerte von \(L^2\) und \(L_{\text z}\) herausgefunden. In der nächsten Lektion finden wir die Eigenfunktionen \(Y_{l}^{m_l}\) heraus. Wie sich herausstellen wird: Es sind Kugelflächenfunktionen!