Drehimpuls in der Quantenmechanik: Kommutatoren und Eigenwerte

Drehimpuls-Kommutatoren

In der klassischen Mechanik sind Orte \(x,y,z\) sowie Impulse \(p_{\text x}, p_{\text y}, p_{\text z}\) aber auch Drehimpulskomponenten \( L_{\text x}, L_{\text y}, L_{\text z} \) skalare Größen, also 'gewöhnliche' Zahlen, die keinen Unterschied ergeben, ob mensch so herum \( z \, p_{\text z} \) oder so herum \( p_{\text z} \, z \) multipliziert. Der Kommutator von zwei Größen gibt die Abweichung an, wenn zwei Größen vertauscht multipliziert werden. Es ist offensichtlich, dass gewöhnliche Zahlen kommutativ sind. Deshalb verschwinden alle Kommmutatoren mit klassischen Orten, Impulsen und Drehimpulsen. Physikalisch bedeutet es, dass wir die klassischen Drehimpulskomponenten prinipiell beliebig genau in einem Experiment messen könnten. Die Unbestimmtheitsrelation gilt für sie nicht.

In der Quantenmechanik dagegen sieht es ganz anders aus, denn hier sind wir an Operatoren interessiert, mit deren Hilfe (und mit Hilfe der Wellenfunktion) wir die Messergebnisse vorhersagen können. Lass uns deshalb die Drehimpulskomponenten 1.1 , 1.2 und 1.3 als Operatoren auffassen.

Dazu ersetzen wir die Impulse, die in den Drehimpuls-Komponenten 1.1 , 1.2 und 1.3 vorkommen, mit den folgenden axiomatischen Zuordnungen:

• Impulskomponente \( p_{\text x} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text x} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_x \)
• Impulskomponente \( p_{\text y} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text y} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_y \)
• Impulskomponente \( p_{\text z} \) wird zum Operator: \( \hat{p}_{\text z} ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \partial_z \)

Hierbei ist \( \mathrm{i} \) die imaginäre Einheit, \( \hbar \) reduzierte Planck-Konstante und \(\partial_x\) der Ableitungsoperator, der angewendet auf eine Funktion, die Ableitung dieser Funktion nach \(x\) ergibt. Eine alleinstehende Ableitung macht natürlich wenig Sinn. Deshalb entfaltet ein Operator erst dann seine Wirkung, wenn er auf eine Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist eine neue, durch den Operator modifizierte Funktion.

Was ist mit den Orten \(x\), \(y\) und \(z\)? Müssen sie nicht auch irgendwie ersetzt werden? Die Orte sind natürlich jetzt auch Operatoren \(\hat{x}\), \(\hat y\) und \(\hat z\). Da wir aber hier im sogenannten Ortsraum arbeiten, bleiben die Orte unmodifiziert. Der Operator \(\hat{x}\), angewendet auf eine Funktion \(f\) ergibt einfach ein Vielfaches der Funktion: \( \hat{x}\,f ~=~ x \, f\). Im Impulsraum wäre es übrigens andersherum. Hier müssen die Orte ersetzt werden, während die Impulse unverändert bleiben.

Da wir nun Orte, Impulse und Drehimpulse als Operatoren auffassen, muss du jetzt aufpassen. Du kannst nicht mit Operatoren so leichtsinnig wie mit Zahlen hantieren. Deshalb ist es manchmal sinnvoll auf die Impulse \( p_{\text x} \), \( p_{\text y} \) und \( p_{\text z} \) Hütchen draufzusetzen, um sie als Operatoren zu markieren: \( \hat{p}_{\text x} \), \( \hat{p}_{\text y} \) und \( \hat{p}_{\text z} \). Analog müsstest du auch Orte und Drehimpulse mit Hütchen versehen. Da sie die Gleichungen etwas 'überfüllter' wirken lassen, lasse ich die Hütchen weg. Wir haben es ja vereinbart, dass wir jetzt zu den Operatoren umgestiegen sind.

Eine nützliche Eigenschaft des Kommutators ist, dass dieser distributiv ist:2\begin{align*} [A + B,\, C + D] & ~=~ [A+B ,\, C] ~+~ [A+B ,\, D] \\\\ & ~=~ [A ,\, C] ~+~ [B ,\, C] ~+~ [A ,\, D] ~+~ [B ,\, D] \end{align*}

Diese Eigenschaft können wir ausnutzen, um den Kommutator von zwei Komponenten des Drehimpulses für das weitere Vorgehen nützlich aufzuschreiben:

1. Kommutator von \( L_{\text x} \) und \( L_{\text y} \):2.1\begin{align*} [L_{\text x}, \, L_{\text y} ] & ~=~ [ y \, p_{\text z} - z \, p_{\text y}, \, z \, p_{\text x} - x \, p_{\text z} ] \\ \\ & ~=~ [ y \, p_{\text z}, \, z \, p_{\text x} ] ~-~ [ y \, p_{\text z}, \, x \, p_{\text z} ] ~-~ [ z \, p_{\text y}, \, z \, p_{\text x} ] ~+~ [ z \, p_{\text y}, \, x \, p_{\text z} ] \end{align*}
2. Kommutator von \( L_{\text y} \) und \( L_{\text z} \):2.2\begin{align*} [L_{\text x}, \, L_{\text z} ] & ~=~ [ y \, p_{\text z} - z \, p_{\text y}, \, x \, p_{\text y} - y \, p_{\text x} ] \\ \\ & ~=~ [ y \, p_{\text z}, \, x \, p_{\text y} ] ~-~ [ y \, p_{\text z}, \, y \, p_{\text x} ] ~-~ [ z \, p_{\text y}, \, x \, p_{\text y} ] ~+~ [ z \, p_{\text y}, \, y \, p_{\text x} ] \end{align*}
3. Kommutator von \( L_{\text y} \) und \( L_{\text z} \):2.3\begin{align*} [L_{\text y}, \, L_{\text z} ] & ~=~ [ z \, p_{\text x} - x \, p_{\text z}, \, x \, p_{\text y} - y \, p_{\text x} ] \\ \\ & ~=~ [ z \, p_{\text x}, \, x \, p_{\text y} ] ~-~ [ z \, p_{\text x}, \, y \, p_{\text x} ] ~-~ [ x \, p_{\text z}, \, x \, p_{\text y} ] ~+~ [ x \, p_{\text z}, \, y \, p_{\text x} ] \end{align*}

Die Vertauschung der Komponenten, zum Beispiel \( [ L_{\text x}, \, L_{\text y} ]\) zu \( [ L_{\text y}, \, L_{\text x} ] \) ergibt lediglich ein Minuszeichen. Das ist die antisymmetrische Eigenschaft eines Kommutators.

Lass uns die Kommutatoren etwas weiter aufdröseln. Dazu benutzen wir eine weitere Eigenschaft des Kommutators, nämlich die Gültigkeit der Produktregel: 3\[ [A, \, BC] ~=~ [A, \, B] \, C ~+~ B \, [A, \, C] \]

Schauen wir uns zuerst den ersten Drehimpuls-Kommutator 2.1 an. Wenden wir auf jeden Summanden zweimal die Produktregel 3 an. Zuerst auf den ersten Summanden von 2.1:3.1\begin{align*} [ y \, p_{\text z}, \, z \, p_{\text x} ] & ~=~ [ y \, p_{\text z}, \, z ] \, p_{\text x} ~+~ [ y \, p_{\text z}, \,p_{\text x} ] \, z \\ \\ & ~=~ p_{\text z} \, [ y, \, z ] \, p_{\text x} ~+~ y \, [ p_{\text z}, \, z ] \, p_{\text x} ~+~ y \, [ p_{\text z}, \, p_{\text x} ] \, z ~+~ p_{\text z} \, [ y, \, p_{\text x} ] \, z \\ \\ & ~=~ 0 ~+~ y \, [ p_{\text z}, \, z ] \, p_{\text x} ~+~ 0 ~+~ 0 \end{align*}

Der erste Term in 3.1 verschwindet, da \( [ y, \, z ] = 0 \) ist. Auch der dritte und vierte Term verschwinden, da \( [ p_{\text z}, \, p_{\text x} ] = 0 \) und \([ y, \, p_{\text x} ] = 0 \) sind. Das kannst du leicht nachprüfen, z.B. für den Term \( [ p_{\text z}, \, p_{\text x} ] ~= -\hbar^2 \partial_{\text z} \partial_{\text x} + \hbar^2 \partial_{\text x} \partial_{\text z} = 0 \), denn es spielt keine Rolle, ob du eine Funktion zuerst partiell nach \(x\) oder nach \(z\) ableitest. Die partiellen Ableitungen können so vertauscht werden, dass die beiden Terme sich genau wegheben.

Der Term, der in 3.1 nicht verschwindet, enthält den Kommutator von dem Ort \(z\) und Impuls \( p_{\text z} \). Diesen Kommutator kennst du hoffentlich bereits. Wenn nicht, dann kannst du ihn leicht ausrechnen, indem du ihn auf irgendeine Testfunktion \(f\) anwendest:\begin{align*} [ p_{\text z}, \, z] \, f & ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \, (\partial_{\text z} \, z \, f) + \mathrm{i} \, \hbar \, z \, (\partial_{\text z} \, f) \\\\ & ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \, f ~-~ \mathrm{i} \, \hbar \, z \, \partial_{\text z} \, f ~+~ \mathrm{i} \, \hbar \, z \, \partial_{\text z} \, f \\\\ & ~=~ -\mathrm{i} \, \hbar \, f \end{align*}

Also muss der Kommutator \( [ p_{\text z}, \, z ] = -\mathrm{i} \, \hbar \) sein. Der Kommutator verschwindet natürlich auch für andere Orte \(y \) und \(z\) nicht, wenn der Impuls in die gleiche Richtung zeigt: \( [ p_{\text x}, \, x ] = -\mathrm{i} \, \hbar \) und \( [ p_{\text y}, \, y ] = -\mathrm{i} \, \hbar \).

Gehen wir zum nächsten Summanden in 2.1 über. Für den zweiten Summanden dort, gilt:3.2\[ [ y \, p_{\text z}, \, x \, p_{\text z} ] ~=~ 0 \]

Das kannst du sofort sagen, ohne viel rechnen zu müssen, da in diesem Kommutator kein \(z\) vorkommt. Wir wissen nämlich, dass nur Impulse und Orte einen nicht verschwindenden Kommutator ergeben, wenn der Impuls in diese Ortsrichtung zeigt. Das können wir auch direkt auf den dritten Summanden in 2.1 anwenden. Dieser fällt nämlich ebenfalls weg. In diesem Kommutator fehlt nämlich \(p_{\text z}\):3.3\[ [ z \, p_{\text y}, \, z \, p_{\text x} ] ~=~ 0 \]

Der letzte Summand in 2.1 verschwindet dagegen nicht, da dort nicht-kommutierende \( z \) und \(p_{\text z}\) auftauchen:3.4\begin{align*} [ z \, p_{\text y}, \, x \, p_{\text z} ] & ~=~ z \, [ p_{\text y}, \, x \, p_{\text z} ] ~+~ p_{\text y} \, [ z, \, x \, p_{\text z} ] \\\\ & ~=~ z \, [ p_{\text y}, \, p_{\text z} ] \, x ~+~ z \, [ p_{\text y}, \, x ] \, p_{\text z} ~+~ p_{\text y} \, [ z, \, x ] \, p_{\text z} ~+~ p_{\text y} \, [ z, \, p_{\text z} ] \, x \\ \\ & ~=~ 0 ~+~ 0 ~+~ 0 ~+~ p_{\text y} \, (\mathrm{i}\hbar) \, x \end{align*}

Insgesamt wird der Drehimpuls-Kommutator 2.1, zusammen mit den nicht-verschwindenden Termen 3.1 und 3.4 zu:3.5\begin{align*} [ L_{\text x}, \, L_{\text y} ] & ~=~ -\mathrm{i}\hbar\,y\, p_{\text x} ~+~ \mathrm{i}\hbar\,p_{\text y} x \\\\ & ~=~ \mathrm{i}\hbar \left( x \, p_{\text y} ~-~ y \, p_{\text x} \right) \end{align*}

Der Ausdruck in der Klammer ist genau die \(L_{\text z} \)-Komponente des Drehimpulses, wie in 1.3 zu sehen ist. Damit haben wir:

Analog gehst du vor, um die beiden anderen Kommutatoren 2.2 und 2.3 herauszufinden. Als Ergebnis bekommst du:

Wenn du dir beispielsweise den Kommutator 4 merkst, dann kommst du leicht auf die beiden anderen Kommutatoren und zwar durch zyklisches Vertauschen der Indizes.

Wenn du magst, kannst du die drei Drehimpuls-Kommutatoren 4, 5 und 6 kompakt zusammenfassen. Dazu ersetzen wir die Ortsetikettchen \(x,y,z\) durch drei Indizes \(i, j, k\), welche die Werte 1, 2 und 3 annehmen können. Für zwei beliebige Drehimpuls-Komponenten \(L_i\) und \( L_j\) ist der Kommutator dann:

Hierbei ist \( \varepsilon_{ijk} \) der Levi-Civita-Tensor, der immer \( \varepsilon_{ijk} = 1\) ist, wenn \(ijk\) zyklisch rotiert werden, das heißt, alle Indizes vertauscht werden. Und der Tensor ist \( \varepsilon_{ijk} = -1\) genau dann, wenn nur zwei Indizes vertauscht werden. Der Tensor ist \( \varepsilon_{ijk} = 0\), wenn mindestens zwei Indizes gleich sind. Zum Beispiel ergibt sich dann Folgendes: \( [ L_1, \, L_2 ] ~=~ \mathrm{i}\hbar \, L_3 \) oder \( [ L_2, \, L_1 ] ~=~ -\mathrm{i}\hbar \, L_3 \) oder \( [ L_1, \, L_1 ] ~=~ 0 \) und so weiter.

Mit dem Levi-Civita-Tensor können wir alle möglichen (insgesamt 16) Drehimpuls-Kommutatoren repräsentieren und das in einer einzigen Gleichung! Ist das nicht praktisch?

Anhand der Drehimpuls-Kommutatoren können wir außerdem sagen, dass es keine Funktionen \(Y\) gibt, die gleichzeitig Eigenfunktionen von \( L_{\text z} \) und \( L_{\text y} \) sind. Also es ist nicht möglich, dass Folgendes gilt: \(L_{\text z} \, Y = \lambda \, Y \) UND gleichzeitig \(L_{\text y} \, Y = \kappa \, Y \). Zwei Operatoren, die nicht kommutieren, haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen.

Gemeinsame Eigenfunktionen gibt es zum Beispiel bei \( L_{\text z} \) und dem Quadrat des Drehimpulsoperators \( L^2 = {L_{\text x}}^2 + {L_{\text y}}^2 + {L_{\text z}}^2 \). Das heißt, der Kommutator von \( L^2 \) und \( L_{\text z} \) verschwindet:8\[ [ L^2, \, L_{\text z} ] ~=~ [ {L_{\text x}}^2, \, L_{\text z} ] ~+~ [ {L_{\text y}}^2, \, L_{\text z} ] ~+~ [ {L_{\text z}}^2, \, L_{\text z} ] \]

Produktregel 3 anwenden. Dabei fällt Kommutator \([ {L_{\text z}}^2, \, L_{\text z} ]\) mit gleichen Komponenten weg:8.1\[ [ L^2, \, L_{\text z} ] ~=~ L_{\text x} \, [ L_{\text x}, \, L_{\text z} ] ~+~ [ L_{\text x}, \, L_{\text z} ]\,L_{\text x} ~+~ L_{\text y} \, [ L_{\text y}, \, L_{\text z} ] ~+~ [ L_{\text y}, \, L_{\text z} ] \, L_{\text y} \]

Jetzt Drehimpuls-Kommutatoren 5 und 6 einsetzen:8.2\begin{align*} [ L^2, \, L_{\text z} ] & ~=~ L_{\text x} \, (-\mathrm{i}\hbar \, L_{\text y}) ~+~ (-\mathrm{i}\hbar \, L_{\text y}) \,L_{\text x} ~+~ L_{\text y} \, (\mathrm{i}\hbar \, L_{\text x}) ~+~ (\mathrm{i}\hbar \, L_{\text x}) \, L_{\text y} \\\\ & ~=~ \mathrm{i}\hbar \, ( - L_{\text x} \, L_{\text y} ~-~ L_{\text y}\,L_{\text x} ~+~ L_{\text y}\,L_{\text x} ~+~ L_{\text x}\,L_{\text y}) \\\\ & ~=~ 0 \end{align*}

Der Kommutator mit \(L^2\) verschwindet übrigens für alle Drehimpuls-Komponenten:

Da der Kommutator von \(L^2\) und einer Drehimpulskomponente \(L_{\text z}\) verschwindet, existieren Eigenfunktionen \(Y\), die gleichzeitig Eigenfunktionen von \(L_{\text z}\) und \(L^2\) sind:10\begin{align*} L^2 \, Y & ~=~ \mu \, Y \\\\ L_{\text z} \, Y & ~=~ \lambda \, Y \end{align*}

Dabei ist \(\mu\) der Eigenwert von \(L^2\) und \(\lambda\) der Eigenwert von \(L_{\text z}\).

Wozu brauchen wir überhaupt \(L^2\)? Nun, dieser Operator wird uns behilflich sein, die Eigenwerte, aber auch die Eigenfunktionen \(Y\) konkret herauszufinden.

Leiteroperatoren

Leiteroperator-Methode ist eine mächtige algebraische Methode, mit der du die Eigenwerte \(\lambda\) von \(L_{\text z}\) bestimmen kannst, OHNE Eigenfunktionen \(Y\) kennen zu müssen. Wir definieren die Leiteroperatoren \(L_+\) und \(L_-\) folgendermaßen:11\begin{align*} L_+ & ~=~ L_{\text x} ~+~ \mathrm{i}\,L_{\text y} \\\\ L_- & ~=~ L_{\text x} ~-~ \mathrm{i}\,L_{\text y} \end{align*}

Als erstes rechnen wir kurz vier nützliche Kommutatoren aus, die wir direkt danach ausnutzen werden:

1. Kommutator von \(L_{\text z}\) und \(L_+\):12\begin{align*} [L_{\text z},\, L_+] & ~=~ [L_{\text z},\, L_{\text x}] ~+~ \mathrm{i}\, [L_{\text z},\, L_{\text y}] \\\\ & ~=~ \mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text y} ~+~ \mathrm{i}(-\mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text x}) \\\\ & ~=~ \hbar \, (L_{\text x} ~+~ \mathrm{i} \, L_{\text y}) \\\\ & ~=~ \hbar \, L_+ \end{align*}
2. Kommutator von \(L_{\text z}\) und \(L_-\):13\begin{align*} [L_{\text z},\, L_-] & ~=~ [L_{\text z},\, L_{\text x}] ~-~ \mathrm{i}\, [L_{\text z},\, L_{\text y}] \\\\ & ~=~ \mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text y} ~-~ \mathrm{i}(-\mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text x}) \\\\ & ~=~ -\hbar \, (L_{\text x} ~-~ \mathrm{i} \, L_{\text y}) \\\\ & ~=~ -\hbar \, L_- \end{align*}
3. Kommutator von \(L^2\) und \(L_+\):14\begin{align*} [L^2,\, L_+] & ~=~ [{L_{\text x}}^2,\, L_+] ~+~ [{L_{\text y}}^2,\, L_+] ~+~ [{L_{\text z}}^2,\, L_+] \\\\ & ~=~ [{L_{\text x}}^2,\, L_\text x] ~+~ \mathrm{i}\,[{L_{\text x}}^2,\, L_\text y] ~+~ [{L_{\text y}}^2,\, L_\text x] ~+~ \mathrm{i} \, [{L_{\text y}}^2,\, L_\text y] \\ & ~+~ [{L_{\text z}}^2,\, L_\text x] ~+~ \mathrm{i} \, [{L_{\text z}}^2,\, L_\text y] \end{align*}Alle Kommutatoren, die gleiche Komponenten enthalten, fallen weg:14.1\[ [L^2,\, L_+] ~=~ \mathrm{i}\,[{L_{\text x}}^2,\, L_\text y] ~+~ [{L_{\text y}}^2,\, L_\text x] ~+~ [{L_{\text z}}^2,\, L_\text x] ~+~ \mathrm{i} \, [{L_{\text z}}^2,\, L_\text y] \]Produktregel anwenden:14.2\begin{align*} [L^2,\, L_+] & ~=~ \mathrm{i}\,L_{\text x}\,[L_{\text x},\, L_\text y] ~+~ \mathrm{i}\,[L_{\text x},\, L_\text y]\,L_{\text x} ~+~ L_{\text y}\,[L_{\text y},\, L_\text x] ~+~ [L_{\text y},\, L_\text x] \, L_{\text y} \\ & ~+~ L_{\text z}\,[L_{\text z},\, L_\text x] ~+~ [L_{\text z},\, L_\text x] \, L_{\text z} ~+~ \mathrm{i}\,L_{\text z}\,[L_{\text z},\, L_\text y] ~+~ \mathrm{i}\,[L_{\text z},\, L_\text y]\,L_{\text z} \end{align*}Drehimpuls-Kommutatoren einsetzen:14.3\begin{align*} [L^2,\, L_+] & ~=~ -\,\hbar\,L_{\text x}\,L_{\text z} ~-~ \hbar\,L_{\text z}\,L_{\text x} ~-~ \mathrm{i}\, \hbar\,L_{\text y}\, L_{\text z} ~-~ \mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text z}\,L_{\text y} \\ & ~+~ \mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text z}\,L_{\text y} ~+~ \mathrm{i}\, \hbar\,L_{\text y}\, L_{\text z}~+~ \hbar\,L_{\text z}\,L_{\text x} ~+~ \hbar\,L_{\text x}\,L_{\text z} \\\\ & ~=~ 0 \end{align*}
4. Kommutator von \(L^2\) und \(L_-\): Kannst du analog zu 14 ausrechnen.15\[ [L^2,\, L_-] ~=~ 0 \]

Soweit so gut. Wir wissen, dass \(Y\) eine Eigenfunktion sowohl von \(L^2\) als auch von \(L_{\text z}\) ist. Wenn wir unseren definierten Leiteroperator \(L_+\) auf \(Y\) anwenden, bekommen wir eine neue, modifizierte Funktion: \( (L_+ \, Y) \). Als nächstes können wir uns die Frage stellen, ob \( (L_+ \, Y) \) auch eine Eigenfunktion von \(L^2\) und \(L_{\text z}\) ist. Prüfen wir das mal:16\begin{align*} L^2 \, (L_+ \, Y) & ~=~ L_+ \, (L^2 \, Y) \\\\ & ~=~ L_+ \, \mu \, Y \\\\ & ~=~ \mu \, (L_+ \, Y) \end{align*}

Beim ersten Gleichheitszeichen in 16 haben wir \(L_+\) und \(L^2\) vertauscht. Das dürfen wir, denn in 14.3 haben wir mühselig ausgerechnet, dass deren Kommutator verschwindet. Kommutator zweier Operatoren ist Null? Dann dürfen wir beide Operatoren vertauschen soviel wir wollen. Mit 16 können wir bestätigen, dass \((L_+ \, Y)\) eine Eigenfunktion von \(L^2\) ist. Es kommt nämlich dieselbe Funktion \((L_+ \, Y)\) heraus, skaliert mit dem gleichen Eigenwert \(\mu\).

Auch \((L_- \, Y)\) ist eine Eigenfunktion von \(L^2\), wie wir leicht nachprüfen können:17\begin{align*} L^2 \, (L_- \, Y) & ~=~ L_- \, (L^2 \, Y) \\\\ & ~=~ L_- \, \mu \, Y \\\\ & ~=~ \mu \, (L_- \, Y) \end{align*}

Mit den zuvor berechneten Kommutatoren zwischen \(L_{\text z}\) und \(L_{\pm}\), können wir leicht beweisen, dass \(L_+\) und \(L_-\) auch Eigenfunktionen von \(L_{\text z}\) sind. Aber Achtung! Hier sind die Kommutatoren, wie wir in 12 und 13 berechnet haben, nicht Null. Wenn wir also beispielsweise \(L_{\text z}\) und \(L_+\) vertauschen, dann müssen wir den dazuhegörigen Kommutator 12 hinzuaddieren, um die Abweichung beim Vertauschen zu kompensieren. Mit diesem Gedanken im Hinterkopf erhalten wir:18\begin{align*} L_{\text z} \, (L_+ \, Y) & ~=~ (L_+ \, L_{\text z} ~+~ \hbar \, L_+)\, Y \\\\ & ~=~ L_+ \, L_{\text z} \, Y ~+~ \hbar \, L_+ \, Y \\\\ & ~=~ L_+ \, \lambda \, Y ~+~ \hbar \, L_+ \, Y \\\\ & ~=~ (\lambda ~+~ \hbar) \, (L_+ \, Y) \end{align*}

Hast du eigentlich schon bemerkt, wie nützlich Kommutatoren sind, wenn mensch mit Operatoren arbeitet?

Mit 18 haben wir gezeigt, dass \((L_+ \, Y)\) eine Eigenfunktion von \(L_{\text z}\) ist. ABER, mit einem veränderten Eigenwert \( \lambda + \hbar\).

Illustration bekommen

Auch eine nochmalige Anwendung von \(L_+\) auf \((L_+ \, Y)\) erhöht den Eigenwert \( \lambda + \hbar\) um weiteres \(\hbar\): 18.1\[ L_{\text z} \, (L_+\,L_+ \, Y) ~=~ (\lambda+2\hbar)\,Y \]Und so weiter. Da \(L_+\) bei jeder weiteren Anwendung auf \(Y\) den Eigenwert von \( L_{\text z} \) um \(+\hbar\) erhöht, bezeichnen wir \(L_+\) als Aufsteigeoperator.

Sein Gegenteil bildet der Absteigeoperator \(L_-\).

Das können wir schnell mithilfe deren Kommutators 13 nachprüfen:19\begin{align*} L_{\text z} \, (L_- \, Y) & ~=~ (L_- \, L_{\text z} ~-~ \hbar \, L_-)\, Y \\\\ & ~=~ L_- \, L_{\text z} \, Y ~-~ \hbar \, L_- \, Y \\\\ & ~=~ L_- \, \lambda \, Y ~-~ \hbar \, L_- \, Y \\\\ & ~=~ (\lambda ~-~ \hbar) \, (L_- \, Y) \end{align*}

Den Aufsteige- und Absteigeoperatoren wirst du nicht nur beim quantenmechanischen Drehimpuls begegnen, sondern auch beispielsweise beim quantenmechanischen harmonischen Oszillator oder in der Quantenfeldtheorie.

Eigenwerte von Lz und L²

Wenn wir den Aufsteigeoperator \(L_+\) immer wieder auf \(Y\) anwenden, so erhöhen wir damit jedes Mal den Eigenwert \(\lambda\) um \(+\hbar\). Kann der neue Eigenwert beliebig groß werden, wenn wir \(L_+\) unaufhörlich anwenden?

Der Eigenwert repräsentiert in der Quantenmechanik, physikalisch gesehen, einen möglichen Messwert der Drehimpulskomponente in \(z\)-Richtung. Ein abgeschlossenes System, zum Beispiel ein H-Atom sein, hat einen endlichen Drehimpuls \(\langle L \rangle \). Dieser Gesamtdrehimpuls ist erhalten. Der Eigenwert \(\lambda\), der seine \(L_{\text z}\)-Komponente repräsentiert, kann nicht größer werden als der Gesamtdrehimpuls. Es muss also eine 'oberste' Eigenfunktion \( \overline{Y\,} := L_+...L_+ \, Y\) von \(L_{\text z}\) geben, die keine Eigenfunktion von \(L_+\) ist:20\[ L_+ \, \overline{Y\,} ~=~ 0 \]

Der Eigenwert \(\lambda\) von \(L_{\text z}\) ist bei Anwendung auf die 'oberste' Eigenfunktion \( \overline{Y\,} \) maximal. Diesen maximalen Eigenwert schreiben wir als ein Vielfaches von \(\hbar\), nämlich als \(\lambda = l\, \hbar\):21\[ L_{\text z} \, \overline{Y\,} ~=~ l\, \hbar \, \overline{Y\,} \]

Die Größe \(l\) ist uns nicht bekannt. Wie sie sich genau verhält, müssen wir noch herausfinden.

Und, wenn wir \(L^2\) auf \( \overline{Y\,} \) anwenden, bekommen wir weiterhin den Eigenwert \(\mu\), weil wir in 16 gesehen haben, dass \(L_+\) den Eigenwert von \(L^2\) gar nicht verändert:22\[ L^2 \, \overline{Y\,} ~=~\mu \, \overline{Y\,} \]

Lass uns den Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) mit dem maximalen Eigenwert \(l \, \hbar\) von \(L_{\text z}\) ausdrücken. Dazu bestimmen wir zuerst \(L_-\,L_+\):23\begin{align*} L_-\,L_+ & ~=~ (L_{\text x} ~-~ \mathrm{i}\,L_{\text y})\,(L_{\text x} ~+~ \mathrm{i}\,L_{\text y}) \\\\ & ~=~ {L_{\text x}}^2 ~+~ {L_{\text y}}^2 ~+~ \mathrm{i}\,(L_{\text x}\,L_{\text y} ~-~ L_{\text y}\,L_{\text x}) \\\\ & ~=~ {L_{\text x}}^2 ~+~ {L_{\text y}}^2 ~+~ \mathrm{i}\,[L_{\text x}, \,L_{\text y}] \\\\ & ~=~ L^2 ~-~ {L_{\text z}}^2 ~+~ \mathrm{i}\, (\mathrm{i}\,\hbar\,L_{\text z}) \\\\ & ~=~ L^2 ~-~ {L_{\text z}}^2 ~-~ \hbar \, L_{\text z} \end{align*}

Forme 23 nach \(L^2\) um:24\[ L^2 ~=~ L_-\,L_+ ~+~ {L_{\text z}}^2 ~+~ \hbar \, L_{\text z} \]

Wenden wir den umgeformten Operator \(L^2\) auf die 'oberste' Eigenfunktion \(\overline{Y\,}\) an:25\begin{align*} L^2 \, \overline{Y\,} & ~=~ (L_- \, L_+ ~+~{L_{\text z}}^2 ~+~ \hbar \, L_{\text z}) \, \overline{Y\,} \\\\ & ~=~ L_- \, L_+ \, \overline{Y\,} ~+~ L_{\text z}\,L_{\text z} \, \overline{Y\,} ~+~ \hbar \, L_{\text z} \, \overline{Y\,} \end{align*}

Der Term \(L_- \, (L_+ \, \overline{Y\,}) = 0\) verschwindet nach Gl. 20, da \(\overline{Y\,}\) bereits die 'oberste' Eigenfunktion ist. Ein weiteres Anwenden von \(L_+\) eliminiert den Term. Und, was \(L_{\text z} \, \overline{Y\,}\) ergibt, steht in 21. Verarzten wir 25 weiter:26\begin{align*} L^2 \, \overline{Y\,} & ~=~ L_{\text z} (l\,\hbar)\,\overline{Y\,} ~+~ \hbar\,(l\,\hbar)\,\overline{Y\,} \\\\ & ~=~ l^2\,\hbar^2\,\overline{Y\,} ~+~ l \, \hbar^2\,\overline{Y\,} \\\\ & ~=~ l \, (l ~+~ 1) \, \overline{Y\,} \end{align*}

Der Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) ist also, ausgedrückt mit \(l\): \(\mu ~=~ l \, (l ~+~ 1) \).

Was passiert nun, wenn wir exzessiv den Absteigeoperator \(L_-\) auf \(Y\) anwenden: \(L_- ... L_-\,Y\)? Irgendwann landen oder überqueren wir die Null als möglichen Eigenwert und der Eigenwert wird negativ. Kann der Drehimpuls-Eigenwert \(\lambda\) negativ beliebig groß werden? Er kann aus dem selben Grund nicht negativ beliebig groß werden, wie er nicht positiv beliebig groß werden kann. Der vom Betrag her maximaler, aber negativer Eigenwert der \( L_{\text z} \)-Komponente kann den Gesamtdrehimpuls nicht überschreiten.

Bezeichnen wir mal die 'unterste' Eigenfunktion von \( L_{\text z} \) als \(\underline{Y}\) und den niedrigsten Eigenwert als \(\underline{l} \, \hbar \). Der Absteigeoperator \(L_-\) ist keine Eigenfunktion von \(\underline{Y}\):27\[ L_- \, \underline{Y} ~=~ 0 \]

Und die Eigenwertgleichungen für \(L_{\text z}\) und \(L^2\) sind:28\begin{align*} L_{\text z} \, \underline{Y} & ~=~ \underline{l} \, \hbar \, \underline{Y} \\\\ L^2 \, \underline{Y} & ~=~ \mu \, \underline{Y} \end{align*}

Berechnen wir als erstes \(L_+ \, L_-\), analog zu 23. Diesmal sind die Leiteroperatoren aber vertauscht:29\begin{align*} L_+\,L_- & ~=~ (L_{\text x} ~+~ \mathrm{i}\,L_{\text y})\,(L_{\text x} ~-~ \mathrm{i}\,L_{\text y}) \\\\ & ~=~ {L_{\text x}}^2 ~+~ {L_{\text y}}^2 ~-~ \mathrm{i}\,(L_{\text x}\,L_{\text y} ~-~ L_{\text y}\,L_{\text x}) \\\\ & ~=~ L^2 ~-~ {L_{\text z}}^2 ~-~ \hbar \, L_{\text z} \end{align*}

Benutzen wir 29, umgestellt nach \(L^2\), um den Eigenwert \(\mu\) von \(L^2\) mit dem niedrigsten Eigenwert \(\underline{l} \, \hbar\) von \(L_{\text z} \) auszudrücken:30\begin{align*} L^2\,\underline{Y} & ~=~ (L_+ \, L_- ~+~ {L_{\text z}}^2 ~-~ \hbar \, L_{\text z}) \, \underline{Y} \\\\ & ~=~ L_+ \, L_- \, \underline{Y} ~+~ {L_{\text z}}^2 \, \underline{Y} ~-~ \hbar \, L_{\text z} \, \underline{Y} \\\\ & ~=~ 0 ~+~ \underline{l}^2\, \hbar^2\, \underline{Y} ~-~ \underline{l}\, \hbar^2\,\underline{Y} \\\\ & ~=~ \underline{l} \, (\underline{l} ~-~ 1) \, \hbar^2 \,\underline{Y} \end{align*}

Damit ist der Eigenwert \(\mu ~=~ \underline{l} \, (\underline{l} ~-~ 1) \, \hbar^2\). Dieser Eigenwert wird durch Leiteroperatoren nicht verändert, das heißt, der mit niedrigstem Eigenwert \(\underline{l} \, \hbar\) ausgedrückte \(\mu\)-Eigenwert ist immernoch der gleiche Eigenwert, wenn wir diesen mit dem höchsten Eigenwert \(l \, \hbar\) von \(L_{\text z}\) ausdrücken. Als wir \(\mu\) mit dem höchsten Eigenwert in 26 ausgedrückt haben, hatten wir \(\mu ~=~ l \, (l ~+~ 1)\) bekommen. Beide Ausdrücke müssen gleich sein:31\[ \underline{l} \, (\underline{l} ~-~ 1) \, \hbar^2 ~=~ l \, (l ~+~ 1) \, \hbar^2 \]

Hier gibt es zwei Möglichkeiten für \( \underline{l} \). Entweder ist \( \underline{l} ~=~ l ~+~ 1 \) oder \( \underline{l} ~=~ -1 \). Die erste Lösung würde bedeuten, dass der niedrigste Eigenwert von \(L_{\text z}\) größer ist als der höchste Eigenwert mit \( l \), was wenig Sinn macht. Die zweite Lösung \( \underline{l} ~=~ -1 \) ist dagegen plausibel und deshalb benutzen wir diese Lösung weiter.

Halten wir unsere Ergebnisse zusammen:

• Der höchste Eigenwert von \(L_{\text z}\) ist: \(l \, \hbar\).
• Der niedrigste Eigenwert von \(L_{\text z}\) ist: \(-l \, \hbar\).
• Von einem Eigenwert zum anderen gelangen wir, indem wir den Eigenwert um \(\hbar\) erhöhen oder verringern und dabei zwischen dem höchsten und niedrigstem Eigenwert bleiben.
• Der Eigenwert von \(L^2\) ist ausgedrückt mit dem höchsten \(L_{\text z}\)-Eigenwert: \( \mu = l \,(l ~+~ 1) \, \hbar^2\).

Die \(L_{\text z}\)-Drehimpulskomponente hat Eigenwerte, die ein Vielfaches von \( \hbar\) sind: \(\lambda = m_l \, \hbar\). Der Wert von \(m_l\) ersteckt sich von \( -l \) bis \( l \): 32\[ m_l \in \{ -l, \, l+1, ~...~, l-1, \, l \} \]

Illustration bekommen

Dabei läuft \(m_l\) in ganzzahligen Schritten (zwei benachbarte Eigenwerte unterscheiden sich ja um \(\hbar\)). Wenn es ingesamt \(N\) Werte zwischen \(-l\) und \(l\) liegen, dann folgt aus \( l ~=~ -l ~+~ N \), dass: \( l = N/2\) ist. Beispielsweise bei \(N=5\) Werten wäre \(l = 2.5\) halbzahlig und bei \( N = 10\) wäre \( l = 5\) ganzzahlig. Die halbzahligen Werte von \(l\) beschreiben die Spinzustände von Quantenteilchen und ganzzahlige Werte von \(l\) beschreiben Bahndrehimpulse von Quantenteilchen:33\[ l \in \left\{ 0, \, \frac{1}{2}, \, 1, \, \frac{3}{2}, \, 2,~... \right\} \]

Zu jedem Wert von \(m_l\) gehört eine Eigenfunktion \(Y_{l}^{m_l}\). Mithilfe der Leiteroperatoren haben wir Eigenwerte von \(L^2\) und \(L_{\text z}\) herausgefunden. In der nächsten Lektion finden wir die Eigenfunktionen \(Y_{l}^{m_l}\) heraus. Wie sich herausstellen wird: Es sind Kugelflächenfunktionen!