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Observablen und Hermitesche Operatoren

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Die Quantenmechanik verrät uns, welche erdenkbaren Größen prinzipiell messbar sind und welche rein mathematischer Natur sind. Eine messbare Größe \(Q\) wird als Observable bezeichnet.

Der Impuls \(p\), der Ort \(x\), die Energie \(W\) - das sind alles mögliche Observablen. Diese physikalische Größen sind nach der Quantenmechanik also messbare Größen.

In einem Experiment wird der Mittelwert \( \langle Q \rangle \) (manchmal auch als Erwartungswert genannt) der Observable \(Q\) gemessen. Diesen Mittelwert bekommen wir durch viele Messungen an einem betrachteten System heraus, die am Ende gemittelt werden. Dieser Mittelwert ist natürlich unterschiedlich, je nach dem, in welchem Zustand \( \mathit\Psi \) das quantenmechanische System ist. Deshalb ist es sinnvoll den Mittelwert mit einem Subskript zu notieren \( \langle Q \rangle_{\mathit \Psi} \), wenn es nicht klar ist, in welchem Zustand das betrachtete System gemessen wird.

Um einen Mittelwert \( \langle Q \rangle \) in der Quantenmechanik theoretisch zu berechnen, brauchen wir einen zur Größe \(Q\) dazugehörigen Operator \(\hat Q\). Den Mittelwert \( \langle Q \rangle \) können wir dann mittels Bra-Ket-Notation folgendermaßen schreiben:1\[ \langle Q \rangle ~=~ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle \]

Gleichung 1 ist ein unendlich dimensionales Skalarprodukt, das wir mit Bra-Ket-Notation kompakt notieren können. Unter der Haube von \(\langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle\) verbirgt sich ein Postulat der Quantenmechanik in Form eines Integrals. Dieses Postulat sagt uns, wie wir Mittelwerte in der Quantenmechanik bestimmen können. Im Falle einer Ortswellenfunktion \(\mathit{\Psi}(x)\) ist der Mittelwert ein Integral über den Ort \(x\):2\[ \langle Q \rangle ~=~ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \int_a^b \mathit{\Psi}^{~*} \, (\hat Q \, \mathit{\Psi}) ~ \text{d}x \]

Der Mittelwert \( \langle Q \rangle \) muss reell sein, da wir keine komplexen Zahlen in einem Experiment messen können. Mathematisch können wir diese Bedingung formulieren, indem wir fordern, dass der Mittelwert \( \langle Q \rangle \) gleich seinem komplex-konjugierten \( \langle Q \rangle^* \) sein muss:3\[ \langle Q \rangle ~=~ \langle Q \rangle^* \]

Das komplex-konjugierte einer reellen Zahl \( \langle Q \rangle \) ist immernoch die gleiche Zahl.

Welche Auswirkung hat diese Forderung auf den dazugehörigen Operator \( \hat Q \)? Dieser kann jetzt nicht mehr beliebig sein. Wenn \(\langle Q \rangle\) das Skalarprodukt \(\langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle\) ist, was ist dann \(\langle Q \rangle^*\) als Skalarprodukt ausgedrückt? Schauen wir uns das mal an:4\begin{align*} \langle Q \rangle^* & ~=~ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle^* \\\\ & ~=~ \left( \int_a^b \mathit{\Psi}^{~*} \, (\hat Q \, \mathit{\Psi}) ~ \text{d}x \right)^* \\\\ & ~=~ \left( \int_a^b (\hat Q \, \mathit{\Psi}) \, \mathit{\Psi}^{~*} ~ \text{d}x \right)^* \\\\ & ~=~ \int_a^b (\hat{Q} \, \mathit{\Psi})^* \, \mathit{\Psi}^ ~ \text{d}x \\\\ & ~=~ \langle \hat Q \, \mathit{\Psi} ~|~ \mathit{\Psi} \rangle \end{align*}

Beim dritten Gleichheitszeichen haben wir lediglich \((\hat Q \, \mathit{\Psi})\) und \(\mathit{\Psi}^{~*}\) vertauscht. Und beim vierten Gleichheitszeichen haben wir die Eigenschaft komplexer Zahlen ausgenutzt, nämlich: \((\mathit{\Psi}^{~*})^* ~=~ \mathit{\Psi}\).

Da wir \(\langle Q \rangle ~=~ \langle Q \rangle^*\) fordern, schließen wir aus 1 und 4, dass beide Skalarprodukte gleich sind:

Eigenschaft Hermitescher Operatoren5\[ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat Q \, \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \langle \hat Q \, \mathit{\Psi} ~|~ \mathit{\Psi} \rangle \]

Wenn also die Größe \(Q\) einen messbaren Mittelwert \( \langle Q \rangle \) besitzt (also \(Q\) eine Observable ist), dann muss ihr Operator \(\hat Q\) im Skalarprodukt hin und her geschoben werden können, ohne das Skalarprodukt zu verändern. Ein Operator \(\hat Q\), der diese Eigenschaft erfüllt, bezeichnen wir als Hermiteschen Operator.

Wenn wir in der Quantenmechanik neue, coole Operatoren ausdenken, dann müssen wir sicherstellen, dass diese Operatoren Hermitesch sind, damit die zu diesem Operator gehörende Größe in einem Experiment überhaupt messbar ist. Sonst ist es eine reine Gedankenspielerei.

Mit diesem Wissen bist du jetzt in der Lage, zu überprüfen, ob eine mathematische Größe messbar ist.

Beispiel: Ist Impuls \(p\) messbar?Lass uns checken, ob der Impuls \(p\) nach der Quantenmechanik gemessen werden kann oder nicht. Dazu müssen wir prüfen, ob der dazugehörige Impulsoperator \( \hat p ~=~ - \mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d}}{\text{d}x} \) die Eigenschaft 5 Hermitescher Operatoren erfüllt. Los gehts:6\begin{align*} \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat p \, \mathit{\Psi} \rangle & ~=~ \int_a^b \mathit{\Psi}^{~*} \, (\hat p \, \mathit{\Psi)} ~ \text{d}x \\\\ & ~=~ \int_a^b \mathit{\Psi}^{~*} \, \left(- \mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}}{\text{d}x} \right) ~ \text{d}x \end{align*}

Das \(\hbar\) und \(\mathit{i}\) sind gewöhnliche Zahlen und dürfen hin und her geschoben werden. Um den Ableitungsoperator \( \frac{\text{d}}{\text{d}x} \) auf das \(\mathit{\Psi}^{~*}\) zu verlagern, benutzen wir partielle Integration:6.1\begin{align*} \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat p \, \mathit{\Psi} \rangle & ~=~\bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_a^b ~-~ \int_a^b \left(- \mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}^{~*}}{\text{d}x} \right) \, \mathit{\Psi}~ \text{d}x \\\\ & ~=~ \bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_a^b ~+~ \int_a^b \left(\mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}^{~*}}{\text{d}x} \right) \, \mathit{\Psi}~ \text{d}x \end{align*}

Den Term \( \left(\mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}^{~*}}{\text{d}x} \right) \) können wir auch so \( \left(- \mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}}{\text{d}x} \right)^{*} \) schreiben:6.2\begin{align*} \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat p \, \mathit{\Psi} \rangle & ~=~ \bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_a^b ~+~ \int_a^b \left(-\mathit{i}\,\hbar \, \frac{\text{d} \mathit{\Psi}}{\text{d}x} \right)^{*} \, \mathit{\Psi}~ \text{d}x \\\\ & ~=~ \bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_a^b ~+~ \int_a^b (\hat{p} \, \mathit{\Psi})^{*} \, \mathit{\Psi}~ \text{d}x \\\\ & ~=~ \bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_a^b ~+~ \langle \hat p \, \mathit{\Psi} ~|~ \mathit{\Psi} \rangle \end{align*}

Da der erste Summand je nach \(a\), \(b\) und \(\mathit{\Psi}\) nicht Null ist, ist die Hermite-Eigenschaft 5 nicht erfüllt. Also ist der Impuls \(p\) im Allgemeinen keine Observable. Die Betonung liegt auf 'im Allgemeinen'. Ist denn \(p\) eine Obersable, wenn wir den gesamten Raumbereich betrachten?6.3\[ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat p \, \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \bigl[ -\mathit{i}\,\hbar\, \mathit{\Psi}^{~*} \, \mathit{\Psi}~ \bigr]_{-\infty}^{\infty} ~+~ \langle \hat p \, \mathit{\Psi} ~|~ \mathit{\Psi} \rangle \]

Für alle möglichen Wellenfunktionen \(\mathit{\Psi}\) fällt der Randterm immernoch nicht weg. Das ist aber gar nicht so schlimm, denn in der Physik sind wir nicht an allen mathematisch erdenkbaren Wellenfunktionen \(\mathit{\Psi}\) interessiert. Physikalisch 'sinnvolle' Wellenfunktionen müssen normierbar sein. Und normierbare Wellenfunktionen müssen für \(x = \pm \infty \) gegen Null gehen. So fällt der Randterm an den gewählten Integrationsgrenzen weg und wir erhalten die Hermitesche Eigenschaft von \( \hat p \):6.4\[ \langle \mathit{\Psi} ~|~ \hat p \, \mathit{\Psi} \rangle ~=~ \langle \hat p \, \mathit{\Psi}~|~ \mathit{\Psi} \rangle \]

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