Direkt zum Inhalt

Elektrische Leistung einfach erklärt

Joulesche Wärme bei zwei verschiedenen Widerständen
Level 2 (für Schüler geeignet)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Du bist schon sicherlich öfters der physikalischen Größe 'elektrische Leistung' in deinem Alltag begegnet, sei es

  • auf der Stromrechnung,
  • beim Zusammenbauen eines Computers
  • oder auf der Verpackung irgendeines elektrischen Geräts.

Die Leistung wird mit dem Buchstaben \(P\) abgekürzt, der für das englische Wort 'Power' steht.

Was ist überhaupt Leistung allgemein?

Allgemein ist die Größe 'Leistung' die von einem System gewonnene oder verlorene Energie \( W\) PRO Zeitspanne \( t\):1\[ \text{Leistung} ~=~ \frac{ W }{ t } \]

Wenn du beispielsweise dein Smartphone an der Streckdose auflädst, dann gewinnt der Akku deines Smartphones an Energie. Wenn du das Smartphone benutzt, dann verliert der Akku an Energie. Übrigens: Wenn du nicht genau weißt, ob es sich um gewonnene oder verlorene Energie pro Zeit handelt, kannst du auch 'umgesetzte Energie pro Zeit' sagen. Das Wort 'umgesetzt' steht in diesem Fall entweder für 'gewonnen' oder 'verloren'.

Die Leistung hat die Einheit \( \frac{\text J}{\text s} \) (Joule pro Sekunde). Joule pro Sekunde kürzen wir kurz mit dem Buchstaben \(\text{W}\) ab, der für Watt steht und die meistgebräuchlichste Einheit für die Leistung darstellt:1.1\[ [\text{Leistung}] ~=~ \frac{\text J}{\text s} ~=~ \text{W} \]

Verwechsle aber nicht die nicht-kursive Einheit \(\text{W}\) mit der kursiv dargestellten Energie \(W\).

Beispiel für elektrische LeistungWenn ein Föhn 2000 Joule pro Sekunde aus der Steckdose zieht (verbraucht), dann hat dieser Föhn eine Leistung von 2000 Watt:1.2\[ P ~=~ 2000 \, \frac{\text J}{ \text s } ~=~ 2000 \, \text{W} \]
Beispiel: PS als mechanische LeistungWenn ein Auto innerhalb von 4 Sekunden von 0 auf 100 km/h beschleunigt, dann gewinnt es an kinetischer Energie (Bewegungsenergie). Vorher stand es still und hatte keine kinetische Energie. Dann hat es gleichmäßig auf 100 km/h beschleunigt. Wir können mit einer gegebenen Masse des Autos ausrechnen, wie viel PS das Auto hat. Die Angabe 'PS', also die Pferdestärke ist eine Leistungsgröße, die eben in der Einheit PS statt in Joule pro Sekunde ausgedrückt wurde. Wenn das Auto beispielsweise 200 PS hat, dann entspricht das ungefähr 147 000 Joule pro Sekunde bzw. 147 000 Watt oder kurz 147 Kilowatt an Leistung.

Leistung als elektrische Größe

Die Leistung \(P\) kann sich natürlich nicht nur auf die mechanische Leistung eines Autos beziehen, sondern kann im Prinzip jedem System zugewiesen werden - sei es ein Auto, eine Schaltung, ein Planet und so weiter.

Wir konzentrieren uns hier auf die elektrische Leistung \(P\), die zur Beschreibung elektrischer Systeme dient. Das System könnte ein Föhn, ein Toaster, ein Computer, ein Smartphone, eine Lampe oder ein Elektroherd sein. Im Grunde alle Systeme, die mit elektrischen Größen, wie der Spannung und dem Strom, beschrieben werden können.

Wenn wir eine elektrische Spannung \(U\) zwischen den Ende eines Leiters anlegen, so bewegen sich die Ladungen von einem Leiterende zum anderen, da sie von entgegengesetzten Ladungen am gegenüberliegenden Pol angezogen werden. Beim Durchlaufen wandeln sie ihre potentielle Energie in kinetische Energie um. Wenn, wie in unserem Fall, die Ladungsmenge \(Q\) sich von einem Pol zum anderen bewegt, dann beträgt die gesamte Energiemenge \(W\), die die Ladungen als kinetische Energie gewonnen haben:2\[ W ~=~ Q \, U \]

Ladung durchläuft eine Spannung und gewinnt Energie
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Positive Ladung \(Q\) wandelt potentielle Energie in kinetische Energie \(W\) um, wenn sie die Spannung \(U\) durchläuft.

Jetzt haben wir die umgesetzte Energie \(W\) mithilfe von elektrischen Größen ausgedrückt, nämlich mithilfe der Ladung \(Q\) und der Spannung \(U\). Setzen wir 2 in die Leistungsformel 1 ein:2.1\[ P ~=~ \frac{ Q \, U }{ t }\]

Die Bewegung der einzelnen Ladungen verursacht einen elektrischen Strom \(I\) durch den Leiter. Wenn pro Zeitspanne \( t\) die Ladungsmenge \(Q\) durch den Leiter fließt, dann ist der elektrische Strom gegeben durch Ladung \(Q\) pro Zeitspanne \(t \):2.2\[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Spannung \(U\) zwischen den Leiterenden, die zu einem elektrischen Strom \(I\) führt, da sich entgegengesetzte Ladungen anziehen.

Wenn du die Leistung 2.1 genau anschaust, dann siehst du, dass dort Ladung pro Zeit \( \frac{Q}{t}\) vorkommt. Das entspricht ja genau dem elektrischen Strom \(I\). Wenn wir den Strom 2.2 in 2.1 einsetzen, bekommen wir:

Elektrische Leistung mittels Spannung und Strom2.3\[ P ~=~ U \, I \]

Wir haben also die Leistung mithilfe elektrischer Größen ausgedrückt, deshalb können wir sie als elektrische Leistung bezeichnen. Auf beschleunigende Autos oder herumkreisende Planeten ist diese Formel natürlich eher nicht anwendbar...

Beispiel: Fliegt die Sicherung raus?Sagen wir mal in deinem Haushalt ist die Sicherung maximal für einen maximalen Strom von 20 Ampere ausgelegt. Wird dieser Wert überschritten, so löst die Sicherung aus, um einen Kabelbrand zu vermeiden. Du möchtest nun an einer Steckleiste einen Föhn, einen Computer und eine eleketrische Heizung betreiben. Auf ihren Verpackungen liest du die Leistungswerte ab:
GerätLeistung \(P\)
Computer550 Watt
Elektrische Heizung1200 Watt
Föhn2000 Watt

Um herauszufinden, ob die Sicherung rausschlägt, wenn du gleichzeitig alle diese Geräte an einer Steckleiste betreibst, benutzen wir die Formel 2.3 für die elektrische Leistung. Die Gesamtleisung ist die Summe aller Leistungen der Geräte. Die Netzspannung beträgt \(U = 230 \, \text{V}\). Stelle Formel 2.3 nach dem gesuchten Strom \(I\) um:2.4\[ I ~=~ \frac{P}{U} \]

Setze die Gesamtleistung und die Netzspannung ein:2.5\begin{align} I &~=~ \frac{550 \, \text{W} ~+~ 1200 \, \text{W} ~+~ 2000 \, \text{W}}{230 \, \text{V}} \\\\ &~=~ 16.3 \, \text{A} \end{align}

Die Sicherung fliegt also nicht raus, da der zum Betreiben der Geräte notwendige Strom von \(16.3 \, \text{A}\) nicht den Wert von \(20 \, \text{A}\) überschreitet.

Umgesetzte Leistung an einem Widerstand

Was ist aber, wenn wir nur den Strom \(I\) oder nur die Spannung \(U\) kennen und wissen, dass das betrachtete System einen Widerstand \(R\) hat? Zum Beispiel könnte das ein Stück Leiter sein, der den Widerstand \(R\) hat. Der Leiter besteht aus vielen Atomen. Wenn die Ladungsträger vom Plus- zum Minuspol wandern, dann stoßen sie gegen die Atome des Widerstands. Bei einem Stoß gibt der Ladungsträger einen Teil seiner kinetischen Energie an das Atom ab. Das Atom fängt dann beispielsweise an zu 'vibrieren' oder sogar Licht auszusenden. Das merken wir daran, dass der Leiter warm wird und manchmal sogar an zu glühen anfängt, wenn der Strom \(I\) groß genug ist. Wir bezeichnen die dadurch entstandene Wärme als Joulesche Wärme. Bei einem größeren Strom geben mehr Ladungen ihre kinetische Energie an die Atome des Leiters ab, dadurch gibt es mehr 'vibrierende' Atome und das wiederum erhöht die Temperatur des Leiters. Wie bringen wir den Widerstand ins Spiel?

Dazu benutzen wir das Ohmsche Gesetz. Das Ohmsche Gesetz besagt, dass die Spannung \(U\) proportional zum Strom \(I\) zunimmt, wobei die Proportionalitätskonstante der Widerstand \(R\) ist:3\[ U ~=~ R \, I \]

Das heißt: Verdoppelst du die Spannung \(U\), dann verdoppelt sich der Strom \(I\) - das bedeutet Proportionalität!

Wir können nun das Ohmsche Gesetz ausnutzen, um die elektrische Leistung mit dem Widerstand \(R\) statt mit der Spannung \(U\) auszudrücken. Dazu setzen wir das Ohmsche Gesetz 3 in unsere allgemeine Formel für die elektrische Leistung \(P = U\, I\) ein:

Elektrische Leistung mittels Strom und Widerstand3.1\[ P ~=~ R \, I^2 \]
Beispiel: Leitungsverlust
Zwischen den Enden des Widerstands \(R\) liegt eine Spannung \(U\) an und es fließt ein Strom \(I\) durch den Widerstand.
Durch eine Leitung mit dem Gesamtwiderstand von 50 Ohm soll ein Strom von 0.5 Ampere fließen. Wie viel Energie pro Sekunde würde an diesem Widerstand pro Sekunde verloren gehen?

Benutze die Leistungsformel 3.1 und setze \( R = 50 \, \Omega \) und \( I = 0.5 \, \text{A} \) ein:3.2\[ P ~=~ 50 \, \Omega ~\cdot~ (0.5 \, \text{A})^2 ~=~ 12.5 \, \text{W} \]

An der Leitung gehen also 12.5 Joule pro Sekunde (Watt) verloren - hauptsächlich in Form von Wärme.

Kehren wir kurz zurück zu unseren 'virbrierenden' Atomen. Halten wir den Strom \(I\) konstant. Die Leistungsformel 3.1 besagt dann, dass in einem elektrischen Leiter mit einem größeren Widerstand mehr Leistung \(P\) umgesetzt wird als in einem Leiter mit einem kleineren Widerstand. Es geben also mehr Ladungsträger des Stroms ihre kinetische Energie an die Atome ab. Es gibt also mehr vibrierende Atome bei einem Leiter, dessen Widerstand größer ist.

Das siehst du deutlich, wenn du zwei verschiedene Widerstände vergleichst:

  • Der eine Widerstand \(R_1\) besteht aus Aluminium
  • und der andere Widerstand \(R_2\) besteht aus Blei (Plumbium).

Nun schickst du durch die beiden Widerstände gleichen Strom \(I\) durch. Da durch beide Widerstände der gleiche Strom fließt, unterscheiden sie sich nur in ihrem Widerstand. Blei hat einen größeren Widerstand als Aluminium \( R_2 > R_1\). Folglich erwärmt sich der Bleiwiderstand mehr als der Aluminiumwiderstand. An einem Bleiwiderstand geht also pro Sekunde mehr Energie (in Form von Wärme) an die Umgebung verloren als an einem Aluminiumwiderstand. Folglich hat der Bleiwiderstand eine größere Leistung \(P\).

Der größere Widerstand \(R_2\) erhitzt sich mehr als ein kleinerer Widerstand \(R_1\) bei gleichem Strom durch die Widerstände.

Die Spannung an den beiden Widerständen ist natürlich unterschiedlich groß. Das siehst du, wenn du dir das Ohmsche Gesetz \(U = R\,I \) anschaust. Der Strom \(I\) ist konstant bei beiden Widerständen. Der Widerstand von Aluminium ist allerdings kleiner. Also ist die Spannung am Aluminiumwiderstand kleiner als beim Bleiwiderstand.

Doch was ist, wenn wir nicht einen gleichen Strom \(I\) durch die beiden Widerstände schicken, sondern eine gleiche Spannung \(U\) an die beiden anlegen? Damit wird nach dem Ohmschen Gesetz \(U = R\,I \) der Strom \( I = \frac{U}{R} \) unterschiedlich sein. Da Aliminium einen kleineren Widerstand hat, wird durch diesen ein größerer Strom fließen als durch einen Bleiwiderstand. Setzen wir diesen Strom \( I = \frac{U}{R} \) in die Leistungsformel \(P = U \, I\) ein, um diesen Strom \(I\) zu eliminieren:

Elektrische Leistung mittels Spannung und Widerstand3.3\[ P ~=~ \frac{U^2}{R} \]

Bei einer gleichen Spannung an beiden Widerständen erwarten wir also nach der Formel 3.3 ein gegenteiliges Verhalten zu dem Fall, bei der ein gleicher Strom durch die Widerstände ging. Jetzt hat ein kleinerer Widerstand eine größere Leistung. Aluminiumwiderstand hat also eine größere Leistung im Vergleich zum Bleiwiderstand, wenn du an beide Widerstände gleiche Spannung anlegst.

Beispiel: AutoscheinwerferEin Autoscheinwerfer mit 30 Watt Leistung ist für die Autobatterie von 12 Volt ausgelegt. Wie groß ist der Widerstand dieses Scheinwerfers?

Dazu benutzt du die eben hergeleitete Formel für die Leistung \(P\), in Abhängigkeit von der Spannung \(U\) und des Widerstands \(R\). Stelle die Formel 3.3 nach dem Widerstand \(R\) um:3.4\[ R ~=~ \frac{U^2}{P} \]

Setze \( U = 12 \, \text{V} \) und \(P = 30 \, \text{W} \) ein:3.5\[ R ~=~ \frac{(12 \, \text{V} )^2}{30 \, \text{W}} ~=~ 4.8 \, \Omega \]

Umgesetzte Energie aus der Leistung bestimmen

Was ist, wenn wir die Leistung gegeben haben und daraus bestimmen wollen, wie viel Energie \(W\) nach beispielsweise 10 Sekunden umgesetzt wurde? Dazu müssen wir lediglich die Leistung, die ja Energie PRO Zeit angibt, mit der Zeit \(t\) multiplizieren:

Umgesetzte Energie bei gegebener Leistung4\[ W ~=~ P \, t \]
Beispiel: Föhn

Wie viel Energie 'verbraucht' ein 2000 Watt Föhn, wenn du diesen 20 Sekunden lang benutzt?4-1\[ W ~=~ 2000 \, \frac{ \text J }{ \text s } ~\cdot~ 20 \, \text s ~=~ 40 \, 000 \, \text{J} \]

'verbraucht' steht in Anführungszeichen, weil genau genommen die Energie erhalten bleibt und die 40 000 Joule nicht verbraucht, sondern in mechanische und thermische Energie umgewandelt werden (also in Wärme und einen Luftstrom).

Beispiel: Kilowattstunden

Du hast im letzten Jahr \(2600 \, \text{kWh}\) (Kilowattstunden) verbraucht. Wie viel Joule sind das und wie viel musst du dafür bezahlen, wenn eine Kilowattstunde 35 Cent kostet?

Zuerstmal ist 'Kilowattstunde' eine Energiegröße! Um sie in Joule umzurechnen, musst du wissen, wofür das '\(k\)' und '\(h\)' stehen. '\(k\)' steht für 'Kilo-' und entspricht dem Faktor 1000:4-2\[ 2600 \, \text{kWh} ~=~ 2600 \cdot 1000 \, \text{Wh} ~=~ 2\,600 \, 000 \, \text{Wh} \]Und '\(h\)' entspricht einer Stunde ('\(hour\)'). Eine Stunde sind 3600 Sekunden:4-3\begin{align} 2\,600 \, 000 \, \text{Wh} &~=~ 2\,600 \, 000 \, \text{W} \cdot 3600 \, \text{s} \\\\ &~=~ 9.36 \cdot 10^9 \, \text{Ws} \end{align}

Eine Wattsekunde (\(\text{Ws}\)) ist die Einheit der Leistung mal Zeit, also genau die Einheit der Energie. Folglich entsprechen \(2600 \, \text{kWh}\) der Energie \(9.36 \cdot 10^9 \, \text{J}\). Hier siehst du deutlich, warum auf der Stromrechnung die Energie in Kilowattstunden und nicht in Joule angegeben wird. Energie in Kilowattstunden lässt sich viel kompakter schreiben als Energie in Joule!

Um die Kosten für 2600 Kilowattstunden zu berechnen, musst du lediglich sie mit dem Preis pro Kilowattstunde multiplizieren:4-4\[ 2600 \, \text{kWh} ~\cdot~ 35 \, \frac{ \text{Cent} }{ \text{kWh} } ~=~ 91 \, 000 \, \text{Cent} \]

Das entspricht 910 Euro.