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Einfache Schaltkreise + Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Reihenschaltung von drei Widerständen
Level 2 (für Schüler geeignet)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Wenn du verstehen möchtest, wie ein komplizierter Schaltkreis eines Smartphones, eines Computers oder irgendeines anderen elektronischen Geräts funktioniert, musst du zuerst den Aufbau und Funktionsweise einfacher Schaltkreise verstehen. Hier lernst du die allerersten und einfachsten Grundlagen dazu. Insbesondere lernst du hier Parallel- und Reihenschaltungen von Widerständen kennen, die beispielsweise dazu benutzt werden, um Amperemeter (Strommessgeräte) und Voltmeter (Spannungsmessgeräte) zu konstruieren.

Spannung-Strom-Diagramm: Eine Gerade, an der du Strom und Spannung ablesen kannst.

Die wohl wichtigste Zutat, um Schaltkreise zu analysieren und selbst zu bauen, ist das Ohmsche Gesetz:1\[ U ~=~ R \, I \]Dieses besagt, wie Strom und Spannung miteinander zusammenhängen. Damit kannst du herausfinden, welcher Strom durch eine Leitung fließt, wenn du eine bestimmte Spannung an den Leiter anlegst. Oder auch andersherum. Hierbei ist

  • \(U\) die elektrische Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten. Bezogen auf einen Schaltkreis ist es die Spannung zwischen zwei Stellen in einem Schaltkreis. Gemessen in Volt (\(\text{V}\)).
  • \(R\) ist der konstante elektrische Widerstand. Zum Beispiel kann das der Widerstand eines Bauteils in einem Schaltkreis sein. Gemessen in Ohm (\(\Omega \)).
  • \(I\) ist der elektrische Strom, der in unserem Fall durch einen Schaltkreis fließt. Dieser wird in Ampere (\(\text{A}\)) gemessen.

Aufbau von einem einfachen Schaltkreis

So kann beispielsweise ein einfacher Schaltkreis aussehen:

Ein einfacher Schaltkreis.

Damit ein Schaltkreis im Betrieb überhaupt funktioniert, brauchst du eine Spannungsquelle - diese wird dazu benutzt, um eine elektrische Spannung \(U\) zu erzeugen, die Quellenspannung genannt wird. Eine Spannungsquelle hat einen Plus- und einen Minuspol und könnte beispielsweise eine Batterie oder ein Generator sein. Wie du weißt: Eine Spannung bezieht sich immer auf zwei Punkte! Daher solltest du dir als nächstes die Frage stellen:

Zwischen WELCHEN Punkten ist die Quellenspannung angelegt?

Bei unserem Schaltkreis (Illustration 2) liegt die Quellenspannung \(U\) zwischen den beiden Enden des Widerstands \(R\) an. Dieser Widerstand kann ein beliebiges Bauteil repräsentieren, wie zum Beispiel eine Lampe oder ein Föhn, denn diese haben einen bestimmten elektrischen Widerstand.

Was bedeutet es überhaupt, dass eine Spannung zwischen den Ende eines Widerstands anliegt? Das bedeutet, dass an einem Ende des Widerstands der Pluspol (+) ist und am anderen Ende der Minuspol (-) ist. Es gibt also einen Ladungsunterschied zwischen den beiden Enden des Widerstands. Die Natur will aber diesen Ladungsunterschied ausgleichen. Folglich fließen die Ladungen von einem Pol zum anderen und erzeugen damit einen elektrischen Strom \(I\). Dieser betreibt dann das Bauteil.

Eine SpannungsQUELLE versucht den Ladungsunterschied ständig aufrechtzuerhalten, sodass der Strom nicht absinkt. Eine Batterie wird natürlich irgendwann leer, sodass die Quellenspannung mit der Zeit kleiner wird. Eine Steckdose dagegen, liefert dir ununterbrochen eine Spannung, solange du deine Stromrechnung bezahlst. Wenn die Spannung am Widerstand nicht aufrechterhalten wird, so wird sie mit der Zeit natürlich auf Null sinken, weil der Ladungsunterschied mit der Zeit sinkt.

Was sind eigentlich diese dunklen Linien im Schaltkreis 1, die vom Minus- und Pluspol ausgehen und zum Widerstand gehen? Diese Linien kannst du dir quasi als Drähte (Leiter) vorstellen. Der eine Draht verbindet den Pluspol mit einem Ende des Widerstands und der andere Draht verbindet den Minuspol der Spannungsquelle mit dem anderen Ende des Widerstands.

Beachte, dass diese Drähte in diesem Fall als ideal leitend gedacht werden. Das heißt: Sie haben keinen oder einen nur sehr geringen Widerstand! Natürlich kann es bei hochwertigen Schaltungen wichtig sein, auch den Leiterwiderstand zu berücksichtigen, auch, wenn er ganz klein ist (unter einem Ohm). Dazu musst du lediglich in deine Schaltung noch einen weiteren Widerstand einbauen, der dann den Leiterwiderstand repräsentiert.

Wir können natürlich auch mehrere Bauteile und damit mehrere Widerstände an den Schaltkreis anschließen. Lass uns mal beispielsweise drei Widerstände \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) nehmen. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir diese Widerstände verbinden können. Entweder seriell oder parallel.

Reihenschaltung von Widerständen

Schließen wir sie zuerst seriell an. Mit 'seriell' ist gemeint, dass wir sie in Reihe bzw. hintereinander verbinden. Das könnte dann so aussehen:

Drei Widerstände, die in Reihe geschaltet sind.

Das ist eine sogenannte Reihenschaltung von Widerständen. Diese zeichnet sich dadurch aus, dass der Pluspol der Spannungsquelle nur an ein Ende eines einzigen Widerstands angeschlossen wird. Wie in der Illustration zu sehen, an ein Ende des Widerstands \(R_1\). Die nachfolgenden Widerstände \(R_2\) und \(R_3\) werden dann wie in einer Kette hintereinander verbunden. Der Minuspol der Spannungsquelle ist ebenfalls nur an ein Ende eines einzigen Widerstands angeschlossen, nämlich an das Ende der Kette, an \(R_3\).

Es gibt auch weitere Merkmale, an denen du erkennen kannst, ob du eine Reihenschaltung vor dir hast. Ein Merkmal liegt beim Strom \(I\), der durch die Widerstände fließt. Der Strom \(I\) fließt vom Pluspol zum Minuspol. Da alle Widerstände hintereinander geschaltet sind, fließt durch alle drei Widerstände der gleiche Strom \(I\). Es gibt ja keine Abzweigungen oder Ähnliches, die die Ladungen des Stroms nehmen könnten, um zum Minuspol zu gelangen.

Bei einer Reihenschaltung von Widerständen fließt der gleiche Strom \(I\) durch alle Widerstände.
Die Spannung an den Widerständen bei einer Reihenschaltung ist unterschiedlich.

Wie sieht es mit der Spannung an den Widerständen aus? Nach dem Ohmschen Gesetz \( U = R \, I\) wissen wir ja, dass an einem Widerstand \(R\) eine Spannung \(U\) zwischen den beiden Ende des Widerstands besteht, wenn durch diesen ein Strom \(I\) fließt. Wir wissen außerdem, dass der Strom \(I\) durch alle drei Widerstände GLEICH ist. Da die Widerstände im Allgemeinen unterschiedlich groß sind, erwarten wir nach dem Ohmschen Gesetz, dass an jedem Widerstand eine unterschiedliche Spannung anliegt:

  • Am Widerstand \(R_1\) liegt die Spannung \( U_1 = R_1 \, I \) an.
  • Am Widerstand \(R_2\) liegt die Spannung \( U_2 = R_2 \, I \) an.
  • Am Widerstand \(R_3\) liegt die Spannung \( U_3 = R_3 \, I \) an.

Wenn eine Ladung den Weg vom Pluspol zum Minuspol der Spannungsquelle durchläuft, dann durchläuft sie die Spannung \(U\). Wenn du dir den Schaltkreis in der Illustration 4 anschaust, dann siehst du, dass \(U\) zwischen einem Ende von \(R_1\) und einem Ende von \(R_3\) anliegt. \(U\) ist also die Gesamtspannung, die an der gesamten Kette von drei Widerständen anliegt. Damit also die Ladung die Spannung \(U\) durchläuft, muss sie die Spannung \(U_1\), dann die Spannung \(U_2\) und dann die Spannung \(U_3\) durchlaufen. Wir können also die Gesamtspannung folgendermaßen schreiben:

Gesamtspannung in einer Reihenschaltung2\[ U ~=~ U_1 ~+~ U_2 ~+~ U_3 \]
In einer Reihenschaltung von Widerständen liegen an den Widerständen unterschiedliche Spannungen an.

Was ist der Gesamtwiderstand \(R\) einer Reihenschaltung? Das können wir herausfinden, wenn wir in die Gleichung 2 für die Gesamtspannung das Ohmsche Gesetz einsetzen und dieses auch auf die Einzelspannungen \(U_1\), \(U_2\) und \(U_3\) anwenden:2.1\begin{align} U &~=~ U_1 ~+~ U_2 ~+~ U_3 \\\\ R \, I &~=~ R_1 \, I ~+~ R_2 \, I ~+~ R_3 \, I \end{align}

Jetzt können wir den Strom \(I\) einfach wegkürzen und bekommen:

Gesamtwiderstand in einer Reihenschaltung2.2\[ R ~=~ R_1 ~+~ R_2 ~+~ R_3 \]
Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist die Summe der einzelnen Widerstände.

Wir können im Prinzip die Reihenschaltung vereinfachen, indem wir die drei Widerstände zu einem Gesamtwiderstand \(R\) zusammenfassen und nur ein einziges Widerstandselement in den Schaltkreis einzeichnen. Auf diese Weise können wir Schaltkreise deutlich vereinfachen und übersichtlicher gestalten:

Drei Widerstände wurden zu einem zusammengefasst.
Beispiel: Reihenschaltung
Beispiel für eine Reihenschaltung mit drei Widerständen.

Drei Widerstände \(100 \, \Omega \), \(50 \, \Omega \) und \(200 \, \Omega \) sind in Reihe geschaltet und es liegt eine Gesamtspannung von \(12 \, \text{V} \) an.

  • Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung?
  • Welcher Strom fließt durch die Widerstände?
  • Wie groß ist die Spannung am \(100 \, \Omega \) Widerstand?

Der Gesamtwiderstand \(R\) ist die Summe der Einzelwiderstände:2.3\begin{align} R &~=~ R_1 ~+~ R_2 ~+~ R_3 \\\\ &~=~ 100 \, \Omega ~+~ 50 \, \Omega ~+~ 200 \, \Omega\\\\ &~=~ 350 \, \Omega \end{align}

Der gesamte Strom durch die Widerstände ist Gesamtspannung \(U = 12 \, \text{V} \) geteilt durch den Gesamtwiderstand \( R = 350 \, \Omega \):2.4\begin{align} I &~=~ \frac{U}{R} \\\\ &~=~ \frac{12 \, \text{V} }{ 350 \, \Omega} \\\\ &~=~ 0.034 \, \text{A} \end{align}

Und die Spannung \(U_1\), die am Widerstand \(R_1 = 100 \, \Omega \) anliegt, bekommst du, indem du den Widerstand \(R_1\) mit dem Strom \(I = 0.034 \, \text{A} \) multiplizierst, der durch diesen Widerstand fließt:2.5\begin{align} U_1 &~=~ R_1 \, I \\\\ &~=~ 100 \, \Omega ~\cdot~ 0.034 \, \text{A} \\\\ &~=~ 3.4 \, \text{V} \end{align}

Parallelschaltung von Widerständen

Eine andere Möglichkeit Widerstände miteinander zu verbinden, ist: Widerstände parallel zu schalten. Hierbei schließt du den Pluspol der Spannungsquelle an die drei Enden aller drei Widerstände an und den Minuspol an die anderen drei Enden der Widerstände.

An allen drei parallel geschalteten Widerständen liegt die gleiche Spannung an.

Dadurch durchläuft eine Ladung bei einer Parallelschaltung die gleiche Spannung \(U\), wenn sie durch den Widerstand \(R_1\), \(R_2\) oder durch \(R_3\) wandert. Durch das derartige 'parallele' Anschließen von Widerständen, stellen wir sicher, dass an allen drei Widerständen die gleiche Spannung \(U\) anliegt. Und das ist auch schon der erste wichtige Unterschied zu einer Reihenschaltung.

Bei einer Parallelschaltung von Widerständen fällt an jedem Widerstand die gleiche Spannung ab.
Bei einer Parallelschaltung fließt im Allgemeinen durch jeden Widerstand ein anderer Strom.

Wie sieht es mit dem Strom durch die Widerstände aus? Wenn du dir die Schaltung (Illustration 8) anschaust, dann siehst du, dass der Gesamtstrom \(I\) sich an den Verzweigungen aufspaltet. Das kannst du dir auch anhand des Ohmschen Gesetzes klar machen. An allen drei Widerständen liegt die gleiche Spannung \(U\) an. Die Widerstände sind jedoch im Allgemeinen unterschiedlich. Daher fließt ein anderer Strom, der von dem gewählten Wert des Widerstands abhängt.

  • Durch den ersten Widerstand fließt der Strom \( I_1 = \frac{U}{R_1} \).
  • Durch den zweiten Widerstand fließt der Strom \( I_2 = \frac{U}{R_2} \).
  • Durch den dritten Widerstand fließt der Strom \( I_3 = \frac{U}{R_3} \).
Bei einer Parallelschaltung von Widerständen fließen durch die Widerstände unterschiedliche Ströme.

Bleibt nur noch zu klären, wie es mit dem Gesamtwiderstand \(R\) bei einer Parallelschaltung aussieht. Dabei hilft uns wieder das Ohmsche Gesetz \( U = R \, I\). Der Gesamtstrom \(I\) ist die Summe der einzelnen Ströme, die durch die Abzweigungen in die Widerstände wandern:3\[ I ~=~ I_1 ~+~ I_2 ~+~ I_3 \]

Jetzt müssen wir die Ströme mit den Widerständen ausdrücken. Der Gesamtstrom \( I \) lässt sich mit dem Ohmschen Gesetz durch die Gesamtspannung und Gesamtwiderstand ausdrücken: \( \frac{U}{R} \). An den Widerständen liegt, wie du weißt, die gleiche Spannung \(U\) an. Daher schreiben wir die Einzelströme folgendermaßen um:3.1\[ \frac{U}{R} ~=~ \frac{U}{R_1} ~+~ \frac{U}{R_2} ~+~ \frac{U}{R_3} \]

Wenn du jetzt nur noch beide Seiten der Gleichung durch \(U\) dividierst, bekommst du den Zusammenhang zwischen dem Gesamtwiderstand \(R\) und den Einzelwiderständen einer Parallelschaltung:

Gesamtwiderstand bei einer Parallelschaltung3.2\[ \frac{1}{R} ~=~ \frac{1}{R_1} ~+~ \frac{1}{R_2} ~+~ \frac{1}{R_3} \]

Das ist ein weiterer Unterschied zwischen einer Parallel- und Reihenschaltung. Während bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand einfach nur die Summe der Einzelwiderstände ist, ist der Gesamtwiderstand bei einer Parallelschaltung etwas komplexer. [Unterschiede zwischen Reihen- und Parallelschaltung zusammengefasst]

Der Vorteil einer ParallelschaltungDer Vorteil einer Parallelschaltung gegenüber einer Reihenschaltung ist, dass, wenn ein Bauteil (z.B. eine Lampe) kaputt geht, bleiben andere, parallel geschaltete Bauteile, weiter im Betrieb. Das wird zum Beispiel bei elektrischen Leitungen in Wohnhäusern ausgenutzt. Wenn dein Herd in der Küche explodiert, dann geht der Computer in deinem Zimmer nicht aus. Bei einer Reihenschaltung, die öfters bei Lichterketten zum Einsatz kommt, reicht nur ein nicht funktionierendes Lämpchen und die gesamte Lichterkette funktioniert nicht mehr...
Beispiel: Parallelschaltung
Beispiel für eine Parallelschaltung mit drei Widerständen.

Drei Widerstände \(100 \, \Omega \), \(50 \, \Omega \) und \(200 \, \Omega \) sind parallel geschaltet und es liegt eine Gesamtspannung von \(12 \, \text{V} \) an.

  • Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung?
  • Wie groß ist der Gesamtstrom?
  • Welche Ströme fließen durch die Widerstände?

Der Gesamtwiderstand \(R\) einer Parallelschaltung ist durch die Gleichung 3.2 gegeben:3.3\begin{align} \frac{1}{R} &~=~ \frac{1}{R_1} ~+~ \frac{1}{R_2} ~+~ \frac{1}{R_3} \\\\ &~=~ \frac{1}{100 \, \Omega} ~+~ \frac{1}{50 \, \Omega} ~+~ \frac{1}{200 \, \Omega}\\\\ &~=~ 0.035 \, \frac{1}{\Omega} \end{align}

Das ist der Kehrwert des Gesamtwiderstands \(R\). Um den Gesamtwiderstand zu erhalten, müssen wir den Kehrwert davon bilden:3.4\begin{align} R &~=~ \frac{1}{0.035} \, \Omega \\\\ &~=~ 28.6 \, \Omega \end{align}An diesem Beispiel siehst du, dass der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung deutlich kleiner ist als der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung mit den gleichen Einzelwiderständen!

Um den Gesamtstrom \(I\) zu bekommen, müssen wir nach dem Ohmschen Gesetz die Gesamtspannung \(U = 12 \, \text{V} \) durch den Gesamtwiderstand \(R\) teilen:3.5\[ I ~=~ \frac{U}{R} ~=~ \frac{12 \, \text{V} }{ 28.6 \, \Omega} ~=~ 0.42 \, \text{A} \]

Wie du weißt, liegt an allen drei Widerständen die gleiche Quellspannung \(U = 12 \, \text{V} \) an. Mit den gegebenem Widerstand, verrät dir das Ohmsche Gesetz, welcher Strom durch diesen Einzelwiderstand fließt. Durch den ersten Widerstand fließt folgender Strom:3.6\[ I_1 ~=~ \frac{U}{R_1} ~=~ \frac{12 \, \text{V}}{100 \, \Omega} ~=~ 0.12 \, \text{A} \]

Durch den zweiten Widerstand:3.7\[ I_2 ~=~ \frac{U}{R_2} ~=~ \frac{12 \, \text{V}}{50 \, \Omega} ~=~ 0.24 \, \text{A} \]

Durch den dritten Widerstand:3.8\begin{align} I_3 &~=~ \frac{U}{R_3} \\\\ &~=~ \frac{12 \, \text{V}}{200 \, \Omega} \\\\ &~=~ 0.06 \, \text{A} \end{align}

Natürlich muss der Gesamtstrom \(I = 0.42 \, \text{A} \) herauskommen, wenn du die drei Einzelströme zusammenaddierst.