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Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Topologischer Raum: Topologie, offene Umgebung, Inneres, Äußeres, Basis

In der mathematischen Physik, zum Beispiel bei der Untersuchung der allgemeinen Relativitätstheorie, wirst du auf den Begriff der Topologie und des topologischen Raums stoßen. Damit du dann weißt, was damit gemeint ist, lernst du hier die genaue Definition eines topologischen Raums kennen und einige weitere mathematische Begriffe, die ebenfalls im Zusammenhang mit dem topologischen Raum auftreten.

Definition eines topologischen Raums

Nimm irgendeine beliebige Menge \(\mathbb{X}\). Bilde dann aus dieser Menge einige Teilmengen (so viele, wie du möchtest). Zusammen ergeben diese Teilmengen eine neue Menge. Diese notieren wir mit einem kalligraphischen ("geschwungenen") Buchstaben \(\class{blue}{\mathcal{T}}\). Im Gegensatz zu \(\mathbb{X}\) sind die Elemente von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) Mengen. Eine solche Menge \( \class{blue}{\mathcal{T}}\), deren Elemente ebenfalls Mengen sind, nennen wir ein Mengensystem.

Nun haben wir ein Paar \( (\mathbb{X}, \class{blue}{\mathcal{T}}) \) erschaffen. Dieses Paar, bestehend aus einer Menge \(\mathbb{X}\) und einem konstruierten Mengensystem \( \class{blue}{\mathcal{T}}\), wird topologischer Raum genannt, WENN dein konstruiertes \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) folgende drei Eigenschaften (Axiome) erfüllt:

  1. Die leere Menge \( \emptyset \) und die ganze Menge \(\mathbb{X}\) sind beide in \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) drin:
    $$ \emptyset, ~ \mathbb{X} ~\in~ \class{blue}{\mathcal{T}} $$
    Erstes Axiom eines topologischen Raums.
  2. Die Vereinigung von beliebig vielen (auch unendlich vielen) Elementen \(\mathbb{T}_i\) von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) ist auch ein Element von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\):$$ \bigcup_i ~ \mathbb{T}_i ~\in~ \class{blue}{\mathcal{T}} $$
    Zweites Axiom eines topologischen Raums.
  3. Der Schnitt von endlich vielen Elementen \(\mathbb{T}_i\) von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) (\( N \) Stück) ist auch ein Element von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\):$$ \bigcap^N_i ~ \mathbb{T}_i ~\in~ \class{blue}{\mathcal{T}} $$
    Drittes Axiom eines topologischen Raums.

Wenn dein Mengensystem \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) diese drei Eigenschaften erfüllt, dann nennen wir \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) eine Topologie auf \( \mathbb{X} \) und die Elemente von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) sind offene Mengen von \(\mathbb{X}\).

Natürlich gibt es im Allgemeinen nicht nur eine mögliche Topologie \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) auf \(\mathbb{X}\). Das heißt: Es gibt verschiedene topologische Räume, die aus einer gegebenen Menge \(\mathbb{X}\) konstruiert werden können.

Beispiel: Die langweiligste Topologie

Wenn du in das Mengensystem \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) nur die leere Menge \(\emptyset\) und die ganze Menge \(\mathbb{X}\) packst:$$ \class{blue}{\mathcal{T}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \mathbb{X} \} $$dann ist \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) eine Topologie, denn sie erfüllt alle drei Eigenschaften einer Topologie. Damit hast du einen trivialen (langweiligen) topologischen Raum \( (\mathbb{X}, \class{blue}{\mathcal{T}}) \) konstruiert.

Beispiel: Eine nicht-triviale Topologie

Du hast die folgende Menge zur Verfügung:$$ \mathbb{X} ~=~ \{ 1,~ 2,~ 5 \} $$

Daraus kannst du folgendes Mengensystem konstruieren:$$ \class{blue}{\mathcal{T}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \mathbb{X},~ \{ 1 \},~ \{ 2 \},~ \{ 5 \},~ \{ 1,2 \},~ \{ 1,5 \},~ \{ 2,5 \} \} $$Wenn du die drei Axiome überprüfst, so wirst du feststellen, dass \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) eine Topologie auf \(\mathbb{X}\) ist. Damit ist \( (\mathbb{X}, \class{blue}{\mathcal{T}}) \) ein topologischer Raum. Würdest du beispielsweise das Element \(\{ 2,5 \}\) aus dem Mengensystem \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) herausnehmen, dann wäre \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) keine Topologie mehr, weil die Vereinigung von \(\{ 1,2 \}\) und \(\{ 1,5 \}\), also die Menge \(\{ 2,5 \}\) nicht in \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) wäre, nach dem 2. Axiom aber in \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) sein MUSS.

Basis einer Topologie

Betrachte nun eine Teilmenge \( \class{violet}{\mathcal{B}} \) von \( \class{blue}{\mathcal{T}} \): $$ \class{violet}{\mathcal{B}} ~\subseteq~ \class{blue}{\mathcal{T}} $$

Diese Teilmenge \( \class{violet}{\mathcal{B}} \) wird Basis für die Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) genannt, wenn jedes Element von \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) sich als Vereinigung von Elementen von \( \class{violet}{\mathcal{B}} \) schreiben lässt.

Wenn du also eine Basis \( \class{violet}{\mathcal{B}} \) für eine Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) hast, dann kannst du daraus alle Elemente von \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) konstruieren.

Beispiel: Basis
Beispiel für eine Basis.

Du hast wieder folgende Menge zur Verfügung:$$ \mathbb{X} ~=~ \{ 1,~ 2,~ 5 \} $$

Daraus konstruieren wir die Topologie:$$ \class{blue}{\mathcal{T}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \mathbb{X},~ \{ 1 \},~ \{ 2 \},~ \{ 5 \},~ \{ 1,2 \},~ \{ 1,5 \},~ \{ 2,5 \} \} $$

Eine Basis für diese Topologie wäre dann beispielsweise:$$ \class{violet}{\mathcal{B}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \{ 1 \},~ \{ 2 \},~ \{ 5 \}\} $$Damit kannst du jedes Element von \(\class{blue}{\mathcal{T}}\) darstellen, indem du die Elemente von \(\class{violet}{\mathcal{B}}\) nimmst und davon dann die Vereinigungen bildest. \( \{ 1 \} \cup \{ 2 \} \) ergibt \(\{ 1,2 \}\) und so weiter.

Offene Umgebung eines Punkts

Betrachte nun ein Element \(x\) (auch Punkt genannt) aus der Menge \(\mathbb{X}\):$$ x ~\in~ \mathbb{X} $$

Eine offene Umgebung von \(x\) ist ein Element \(\mathbb{T}\) der Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \), sodass \(x\) in \(\mathbb{T}\) liegt.

Gehe also in die Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) und suche nach einem Element \(\mathbb{T}\), indem \(x\) vorhandne ist. Wenn du so ein Element \(\mathbb{T}\) gefunden hast, dann hast du eine offene Umgebung von \(x\) gefunden. Natürlich wirst du im Allgemeinen nicht nur ein solches Element \(\mathbb{T}\) finden. Du könntest auch auf mehrere offene Umgebungen von \(x\) stoßen.

Beispiel: Offene Umgebung
Offene Umgebungen von \(x=1\).

Du hast wieder folgende Menge zur Verfügung:$$ \mathbb{X} ~=~ \{ 1,~ 2,~ 5 \} $$

Mit der Topologie:$$ \class{blue}{\mathcal{T}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \mathbb{X},~ \{ 1 \},~ \{ 2 \},~ \{ 5 \},~ \{ 1,2 \},~ \{ 1,5 \},~ \{ 2,5 \} \} $$

Dann wählst du ein Element (Punkt) \(x\) aus \(\mathbb{X}\) aus. Wir wählen mal beispielhaft den Punkt \( x = \class{red}{1} \). Dann schauen wir in der Topologie nach einem Element \(\mathbb{T}\), indem \(\class{red}{1}\) drin ist. Das wäre beispielsweise die einelementige Menge \( \mathbb{T} = \{ \class{red}{1} \}\). Das wäre dann eine offene Umgebung von \( x = \class{red}{1} \). Andere offene Umgebung von \( x = \class{red}{1} \) wäre die Gesamtmenge \( \mathbb{X} \) selbst, aber auch die Mengen \(\{ \class{red}{1},2 \}\) und \(\{ \class{red}{1},5 \}\). Alle anderen Mengen in der Topologie sind keine offene Mengen von \( x = \class{red}{1} \), weil sie eben keine \(\class{red}{1}\) als Element enthalten.

Innerer Punkt einer Menge

Betrachten wir nun eine Teilmenge \(\mathbb{S}\) von \(\mathbb{X}\):$$ \mathbb{S} ~\subseteq~ \mathbb{X} $$und einen Punkt \(s\) in \(\mathbb{S}\):$$ s ~\in~ \mathbb{S} $$

Dieser Punkt \(s\) wird innerer Punkt von \(\mathbb{S}\) genannt, wenn es eine offene Umgebung von \(s\) existiert, die in \(\mathbb{S}\) enthalten ist.

Was eine offene Umgebung ist, hast du ja zuvor kennengelernt. Gehe also in die Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) und finde dort ein Element \(\mathbb{T}\), in dem der Punkt \(s\) vorhanden ist. Das ist dann per Definition deine offene Umgebung von \(s\). Prüfe dann, ob diese offene Umgebung \(\mathbb{T}\) in die Menge \(\mathbb{S}\) 'hineinpasst', also ob \(\mathbb{T}\) eine Teilmenge von \(\mathbb{S}\) ist. Wenn das der Fall ist, dann ist \(s\) ein innerer Punkt von \(\mathbb{S}\).

Beispiel: Innerer Punkt
\( s = 5 \) als innerer Punkt von \(\class{red}{\mathbb{S}}\)

Wir betrachten wieder$$ \mathbb{X} ~=~ \{ 1,~ 2,~ 5 \} $$

und die Topologie:$$ \class{blue}{\mathcal{T}} ~=~ \{ \emptyset, ~ \mathbb{X},~ \{ 1 \},~ \{ 2 \},~ \{ 5 \},~ \{ 1,2 \},~ \{ 1,5 \},~ \{ 2,5 \} \} $$

Dann wählst du eine Teilmenge \(\mathbb{S}\) von \(\mathbb{X}\) aus. Zum Beispiel diese:$$ \class{red}{\mathbb{S}} ~=~ \{ 1,~ 5 \} $$

Wähle dann einen Punkt \( s\) aus \(\class{red}{\mathbb{S}}\) aus. Wir wählen beispielsweise \( s = 5\). Ist das ein innerer Punkt von \(\mathbb{S}\)? Dazu finden wir eine offene Umgebung von \( s = 5 \). Wir gehen in die Topologie und sehen, dass \( s = 5\) in \( \mathbb{T} = \{ 2,5 \}\) enthalten ist. Dies ist also eine offene Umgebung von \( s = 5 \). Ist das aber auch eine Teilmenge von \(\class{red}{\mathbb{S}}\)? Nein.

Dann schauen wir, ob wir eine andere offene Menge finden, die in \(\class{red}{\mathbb{S}}\) hineinpassen könnte... Die Menge \(\mathbb{T} = \{ 5 \}\) wäre auch eine offene Umgebung von \( s = 5\) und diese ist auch eine Teilmenge von \(\class{red}{\mathbb{S}}\). Damit haben wir eine offene Umgebung \(\mathbb{T} = \{ 5 \}\) von \(s = 5 \) gefunden, die gleichzeitig eine Teilmenge von \(\mathbb{S}\) ist. Folglich ist \(s = 5 \) ein innerer Punkt von \(\class{red}{\mathbb{S}}\).

Inneres, Äußeres und der Rand einer Menge

Wir können all die inneren Punkte von \(\mathbb{S}\) in einer neuen Menge zusammenfassen:$$ \mathbb{Int}(\mathbb{S}) ~=~ \{ s \in \mathbb{X} ~|~ s \text{ innerer Punkt von } \mathbb{S} \} $$

Das ist die Menge aller Punkte \(s\) aus \(\mathbb{X}\), die die Eigenschaft haben, dass sie die inneren Punkte von \(\mathbb{S}\) sind. Wir bezeichnen diese Menge als Inneres von \(\mathbb{S}\).

Was ist dann das Äußere von \(\mathbb{S}\)? Das ist die folgende Menge: $$ \mathbb{Ext}(\mathbb{S}) ~=~ \{ s \in \mathbb{X} ~|~ s \text{ innerer Punkt von } \mathbb{X} \setminus \mathbb{S} \} $$

Das ist Menge aller Punkte \(s\) in \(\mathbb{X}\), die die Eigenschaft haben, dass \(s\) ein innerer Punkt von \( \mathbb{X} \setminus \mathbb{S}\) (\(\mathbb{X}\) ohne \( \mathbb{S}\)) ist. Das heißt: \(s\) ist ein Innerer Punkt von der Menge, die NICHT \(\mathbb{S}\) enthält.

Die Randmenge (oder kurz: Rand) \( \partial \mathbb{S} \) von \(\mathbb{S}\) ist dann die Menge aller Punkte von \(\mathbb{X}\), die kein Inneres und kein Äußeres von \(\mathbb{S}\) enthält: $$ \partial \mathbb{S} ~=~ \mathbb{X} \setminus \left( \mathbb{Int}(\mathbb{S}) \cap \mathbb{Ext}(\mathbb{S}) \right) $$

Ziehe also von \(\mathbb{X}\) das Innere und Äußere von \(\mathbb{S}\) ab, dann bekommst du den Rand von \(\mathbb{S}\).

Abgeschlossene Mengen & induzierte Topologien

Eine Teilmenge \(\mathbb{A}\) von \(\mathbb{X}\) heißt geschlossen, wenn \(\mathbb{X} \setminus \mathbb{A}\) offen ist.

Wenn du also eine Topologie konstruieren kannst, die \(\mathbb{X} \setminus \mathbb{A}\) enthält, dann muss die Menge \(\mathbb{X} \setminus \mathbb{A}\) offen sein, denn die Topologie enthält ja nur offene Mengen. Dann ist \(\mathbb{A}\) geschlossen.

Wir können außerdem aus einer Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) von \(\mathbb{X}\) eine Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}_s} \) auf einer Teilmenge \(\mathbb{S}\) von \(\mathbb{X}\) konstruieren. Diese Teilmenge \(\mathbb{S}\) 'erbt' quasi die Eigenschaften von \(\mathbb{X}\). Diese Topologie \( \class{blue}{\mathcal{T}_s} \) erzeugen wir, indem wir den Schnitt zwischen \(\mathbb{S}\) und allen Elementen \(\mathbb{T}\) von \( \class{blue}{\mathcal{T}} \) bilden:$$ \class{blue}{\mathcal{T}_s} ~=~ \{ \mathbb{S} ~\cap~ \mathbb{T} ~|~ \mathbb{T} ~\in~ \class{blue}{\mathcal{T}} \} $$

Wir sagen: \(\class{blue}{\mathcal{T}_s}\) ist die vom topologischen Raum \( (\mathbb{X},~\class{blue}{\mathcal{T}}) \) induzierte Topologie von \(\mathbb{S}\). Der induzierte topologische Raum ist dann \( (\mathbb{S},~\class{blue}{\mathcal{T}_s}) \).

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