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Variation der Konstanten (VdK) und wie Du damit inhomogene DGL 1. Ordnung lösen kannst

DGL Typen: Gewöhnlich, erster Ordnung, inhomogen
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Inhomogene (lineare) DGL 1. Ordnung lösen mit Variation der Konstanten ( + Beispiel)

Illustration : Variation der Konstanten ist geeignet für gewöhnliche DGL 1. Ordnung, die inhomogen sind.

Die Methode der Variation der Konstanten (VdK) ist gut geeignet für:

  • gewöhnliche DGL 1. Ordnung,

  • die linear

  • und inhomogen sind.

Die homogene DGL ist ein Spezialfall der inhomogenen DGL, deshalb ist die Methode der Variation der Konstanten auch für homogene DGL geeignet. Den inhomogenen Typ hast du genau dann, wenn du deine DGL in die folgende Form bringen kannst:

Form einer inhomogenen DGL erster Ordnung
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Die inhomogene Version 1 unterscheidet sich von der homogenen DGL nur dadurch, dass der alleinstehende Koeffizient, also die Störfunktion \(S(x)\), nicht null ist. Dieser Typ der DGL ist also etwas komplexer zu lösen.

Bei dieser Lösungsmethode machst du den Ansatz, dass die allgemeine Lösung \(y(x)\) durch eine von \(x\) abhängige Konstante \(C(x)\) gegeben ist, multipliziert mit einer homogenen Lösung, die wir als \( y_{\text h}(x) \) bezeichnen:

Variation der Konstanten - Ansatz für die Lösung
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Wie du die homogene Lösung \( y_{\text h} \) herausfindest, hast du bei der Methode der Trennung der Variablen kennengelernt. Dazu musst du lediglich die Störfunktion Null setzen: \( S(x) = 0 \). Dann hast du die homogene DGL. Diese löst du mit der Trennung der Variablen oder direkt durch Benutzung der dazugehörigen Lösungsformel:

Lösungsformel für gewöhnliche homogene DGL 1. Ordnung
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Diesen Ansatz 2 setzen wir in die inhomogene DGL 1 für \(y\) ein:

Ansatz der Variation der Konstanten in die inhomogene DGL eingesetzt
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Die Ableitung \(y'\) wollen wir auch mit unserem Ansatz ersetzen. Dazu müssen wir zuerst unseren Ansatz nach \(x\) ableiten. Da sowohl \(C(x)\) als auch \( y_{\text h}(x) \) von \(x\) abhängen, müssen wir die Produktregel anwenden. Das machst du, indem du einmal \(C(x)\) ableitest und lässt \( y_{\text h} \) stehen und dann lässt du \(C(x)\) stehen und leitest \( y_{\text h} \) ab. Das Ergebnis ist die gesuchte Ableitung von unserem Ansatz:

Ableitung des Ansatzes der Variation der Konstanten
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Die Ableitung setzen wir für \(y'\) in die allgemeine Form der DGL 1 ein:

Ableitung von VdK in die inhomogene DGL eingesetzt
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Wenn du nur noch \(C(x)\) ausklammerst, dann siehst du vielleicht, warum dieser Ansatz so raffiniert ist:

Konstante C ausklammern
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In der Klammer steht nämlich die homogene DGL. Sie ist natürlich Null. Das ist ja die Definition einer homogenen DGL. Der zweite Summand fällt also komplett weg:

Homogene DGL hebt sich weg
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Die Gleichung kannst du jetzt nach dem unbekannten Koeffizienten \(C'(x)\) umstellen:

Nach der Ableitung der Konstante C umstellen
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Um jetzt nur noch die Ableitung \(C'(x)\) zu eliminieren, müssen wir beide Seiten über \(x\) integrieren:

Gleichung auf beiden Seiten integrieren
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Die rechte Seite können wir nicht konkret integrieren, weil \(S(x)\) je nach Problem unterschiedlich ist. Deshalb lassen wir die rechte Seite einfach so stehen. Die linke Seite dagegen lässt sich integrieren. Wenn du \(C'(x)\) integrierst, dann bekommst du \(C(x)\), denn, wie du weißt, die Integration ist quasi die Umkehrung einer Ableitung. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante, nennen wir sie \(B\):

Ergebnis der Integration
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Bringen wir die Integrationskonstante auf die rechte Seite und definieren eine neue Konstante \(A := -B\):

Konstante beim Ergebnis der Integration zusammenfassen
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Wenn du jetzt nur noch den herausgefundenem Koeffizienten \(C(x)\) in den ursprünglichen Ansatz 2 einsetzt, dann bekommst du die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung:

Lösungsformel für inhomogene DGL 1. Ordnung
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Beispiel: Variation der Konstanten auf den RL-Schaltkreis anwenden

RL-Schaltung - Einschaltvorgang
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Illustration : Eine RL-Schaltung.

Betrachte einen Schaltkreis aus einer Spule, die durch die Induktivität \(L\) charakterisiert wird und einen in Reihe geschalteten elektrischen Widerstand \(R\). Dann nehmen wir noch eine Spannungsquelle, die uns die Spannung \(U_0\) liefert, sobald wir den Schaltkreis mit einem Schalter schließen. Dann fließt ein zeitabhängiger Strom \(I(t)\) durch die Spule und den Widerstand. Der Strom hat nicht sofort seinen maximalen Wert, sondern nimmt aufgrund der Lenz-Regel langsam zu. Mithilfe der Kirchoff-Regeln können wir folgende DGL für den Strom \(I\) aufstellen:

Homogene DGL erster Ordnung für den RL-Schaltkreis
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Denk dran, dass der Punkt über dem \(I\) die erste Zeitableitung bedeutet. Das ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung. Das siehst du am besten, wenn du diese DGL in die uns etwas bekanntere Form 1 bringst. Teile auf beiden Seiten durch \(L\). Dadurch eliminierst du das \(L\) vor der Ableitung:

Homogene DGL erster Ordnung für den RL-Schaltkreis in die richtige Form bringen
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Bringe den alleinstehenden Koeffizienten auf die andere Seite:

Bei DGL für den RL-Schaltkreis den Koeffizienten umstellen
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Und schon haben wir die uns vertraute Form 1. Die gesuchte Funktion \(y\) entspricht hier dem Strom \(I\). Die Störfunktion \(S(t)\) entspricht \(\frac{U_0}{L}\) und ist in diesem Fall zeitunabhängig: \( S = \frac{U_0}{L} \). Der Koeffizient \(K(t)\) vor der gesuchten Funktion \(I\) entspricht \(\frac{R}{L}\) und ist in diesem Fall ebenfalls zeitunabhängig: \(K = \frac{R}{L} \).

Benutzen wir die hergeleitete Lösungsformel 12 für die inhomogene lineare DGL 1. Ordnung. Die homogene Lösung bezeichnen wir mal passend mit \(I_{\text h}\):

Lösungsformel der Variation der Konstanten auf RL-Schaltkreis angewendet
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Als erstes müssen wir die homogene Lösung \(I_{\text h}\) bestimmen. Diese können wir schnell mithilfe der Lösungsformel 3 für die homogene Version der DGL berechnen:

Lösungsformel für homogene DGL des RL-Schaltkreises
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Die Konstante \(C\) in der Lösungsformel dürfen wir hier weglassen, weil wir sie später eh durch die Konstante \(A\) berücksichtigen, die in der inhomogenen Lösungsformel 12 steckt.

Der Koeffizient \(\frac{R}{L}\) ist konstant und eine Konstante integriert, bringt lediglich ein \(t\) ein. Die homogene Lösung lautet also:

Lösung der homogenen DGL für den RL-Schaltkreis
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Setzen wir sie schon mal in die inhomogene Lösungsformel ein:

Homogene Lösung in die inhomogene Lösungsformel der VdK eingesetzt
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Beachte, dass '1 durch Exponentialfunktion', die ein Minus im Exponenten enthält einfach der Exponentialfunktion ohne das Minuszeichen entspricht.

Jetzt müssen wir das Integral in 19 berechnen. Hier ist \(\frac{U_0}{L}\) eine Konstante und kann vor das Integral gezogen werden. Und bei der Integration der Exponentialfunktion bleibt sie erhalten. Vor die Exponentialfunktion kommt lediglich \(\frac{L}{R}\) als Faktor dazu. Und die Integrationskonstante verstecken wir in der Konstante \(A\):

Integral der inhomogenen Lösungsformel der VdK berechnen
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Und schon haben wir die allgemeine Lösung. Diese können wir durch das Ausmultiplizieren der Klammer noch etwas vereinfachen. Die Exponentialfunktion kürzt sich bei einem Faktor weg:

Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL der RL-Schaltung
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Um eine auf das Problem zugeschnittene Lösung zu bekommen, das heißt, um die unbekannte Konstante \(A\) zu bestimmen, brauchen wir eine Anfangsbedingung. Wenn wir sagen, dass der Zeitpunkt \( t = 0 \) der Zeitpunkt ist, bei dem der Strom \(I\) Null war, weil wir den Schalter noch nicht betätigt haben, dann lautet unsere Anfangsbedingung: \( I(0) = 0 \). Einsetzen in die allgemeine Lösung:

Anfangsbedingungen in allgemeine Lösung einsetzen
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und Umstellen nach \(A\) ergibt:

Konstante mithilfe der Anfangsbedingung bestimmen
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Damit haben wir die konkrete Gesamtlösung erfolgreich bestimmt:

Spezifische Lösung der inhomogenen DGL der RL-Schaltung
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Jetzt weißt du, wie lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden können. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie wir noch kompliziertere Differentialgleichungen mit dem sogenannten Exponentialansatz bewältigen können.